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数学コーナー

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<質問９＞
　複素数平面上の３点Ａ(i)、Ｂ｛(√３）＋２i｝、Ｃ｛(√３）＋４i｝について
角ＢＡＣの大きさと、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

＜解説９＞
　＜�T　座標軸上に図形を描く事による解法＞
　　…センターなど穴埋めでは有力な解法。
　　　　短時間でミスなくできる…

＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
＊　　複素数平面＝ベクトル＝座標
＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　例　√３＋２ｉ　←→　（√３，２）

　　＜解＞
座標軸上に
点A（0，３）、Ｂ（√３，２）、Ｃ（√３，４）
をとる。
すると
　　ＡＢ＝２、ＢＣ＝２、ＡＣ＝２√３
がわかる。
ゆえに辺ＡＣに点Ｂから垂線をＢＨをひくと
三角形ＡＢＨは１：２：√３の三角形になるから
角ＢＡＣ＝３０°
三角形ＡＢＣ＝√３




　＜�U　計算による解法＞
＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
＊　極形式ｒ（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）　　
＊　　　　　　　　　　　角と絶対値分けて　
＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
＊　∠ＢＡＣ＝ａｒｇ（（γ−α）／（β−α））　
＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
＊　ＡＢ＝｜β−α｜　
＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　　＜解＞

各点ＡＢＣを表す複素数を　

　α＝ｉ
　β＝√３＋２ｉ
　γ＝√３＋４ｉ

とおくと、

∠ＢＡＣ＝ａｒｇ（（γ−α）／（β−α））

だから
（γ−α）／（β−α）
　　　　　＝（（√３＋４ｉ）-ｉ）／（（√３＋２ｉ）−ｉ）
　　　　　＝（√３＋3ｉ）／（√３＋ｉ）
　　　　　＝（√３＋3ｉ）（√３-ｉ）／（√３＋ｉ）（√３−ｉ）
　　　　　＝（３＋３√３ｉ−√３i＋３）／（３＋１）
　　　　　＝（６＋２√３ｉ）／４
　　　　　＝３／２＋√３ｉ／２
　　　　　＝√３（√３／２＋ｉ／２）
　　　　　＝√３（ｃｏｓ３０°＋ｉｓｉｎ３０°）
となるから、
角は
∠ＢＡＣ＝ａｒｇ（（γ−α）／（β−α））＝３０°

また
絶対値は
　｜（γ−α）／（β−α）｜＝√３

であるから
　　ＡＣ／ＡＢ＝√３

また
　ＡＢ＝｜β−α｜＝√（（√３）＾２＋（２−１）＾２）
　　　　　　　　　　　　＝２

（ここで　＾２　は２乗を表す）

であるから
　ＡＣ＝２√３

ゆえに
　Ｓ＝ＡＢ・ＡＣｓｉｎ３０°／２
　　＝２・２√３／（２・２）
　　＝√３

＜質問８＞
　複素数平面上の異なる３点Ａ(α)、Ｂ(β)、Ｃ(γ)につ
いて
γ−α/β−α＝(√３)i　が成り立つとき、三角形ＡＢＣはど
のような三角形か。


(2)　複素数平面上の異なる３点Ａ(α)、Ｂ(β)、Ｃ(γ)につ
いて
（γ−α）/（β−α）＝(√３)i　が成り立つとき、三角形ＡＢＣはど
のような三角形か。
＜解説＞
＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
＊　極形式ｒ（ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ）　　
＊　　　　　　　　　　　角と絶対値分けて　
＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
＊　∠ＢＡＣ＝ａｒｇ（（γ−α／（β−α））　
＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊
＊　ＡＢ＝｜β−α｜　
＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＜解＞

　　（γ−α）/（β−α）＝(√３)i
　　　　　　　　　　　　　　＝√３（０＋ｉ）
　　　　　　　　　　　　　＝√３（ｃｏｓ９０°＋ｉｓｉｎ９０°）
だから、
　　　∠ＢＡＣ＝ａｒｇ（（γ−α）／（β−α））
　　　　　　　　＝９０°

　　　ＡＣ／ＡＢ＝｜（γ−α）/（β−α）｜　
　　　　　　　　　＝√３

ゆえに　
　　　ＡＣ：ＡＢ＝√３：１

だから
　　角Ａ＝９０度、角Ｂ＝６０度、角Ｃ＝３０度の直角三角形
　

>＜質問７＞
>放物線ｙ＝ｘの２乗−ｘ＋３　と点（１，−１）からこの放物線に
>引いた２本の接線とで囲まれた部分の面積を求めよ。


＜説明７＞
＜＜曲線とその接線とで囲まれる面積＞＞の問題
　理系最頻出の問題です。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊
　点（○、□）を通り、傾き△の直線は
　　　ｙ−□＝△（ｘ−○）
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊
　　傾きは微分
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊
　　通る←→代入できる
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊
　　ピンチにはピンチヒッター
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊
　　面積＝∫(上ｙ−下ｙ)
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＜解答７＞
まず、接線の方程式を求める
接点のｘ座標（がわからないのでこれ）　　←ポイント”ピンチにはピンチヒッター”
をａとする
すると、（当然の事ながら）
この接点を曲線
　　　ｙ＝ｘの２乗−ｘ＋３　　　　…�@　
が通るので、（ｘ座標にａを代入できる。そうしたらｙ座標が求まるから）
ｙ座標は
　　　　　ａの２乗−ａ＋３　　　　　　　　　←ポイント”通る代入”
である。だから接点の座標は
　　　（ａ，ａの２乗−ａ＋３）　　…�A
である。
するとこの接線の傾きは、曲線の方程式�@を微分して　←ポイント”傾きは微分”
　　　　　２ｘ−１
このｘにａを代入したものだから傾きは、　　　　　　　　　　　　
　　　　　２ａ−１　　　　　　　　…�B
ゆえに、接線の方程式は点（１，−１）を通り、傾き�Bだから
　　　　ｙ＋１＝（２ａ−１）（ｘ−１）　　　…�C
　　　　 ←ポイント”点（○、□）を通り、傾き△の直線は
　　　 　　　　　 　　　　　 ｙ−□＝△（ｘ−○）”
この接線�Cは（当然の事ながら）
接点�Aを通るから　　　　　　　　　　　　　　←ポイント”通る代入”
（�Cのｘ、ｙに接点�Aを代入して）
　　　　　　ａの２乗−ａ＋３＋１＝（２ａ−１）（ａ−１）
整理して
　　　　　　ａの２乗−２ａ−３＝０
このａについての2次方程式を解くと、
　　　　　　ａ＝−１，３　　　　　…�D
ゆえに接線の方程式はこのａ＝−１，３を�Cに代入して　
　　　　　　ｙ＝−３ｘ＋２　　　　…�E
　　　　　　ｙ＝５ｘ−６　　　　　…�F
（つまり、点（１、−１）からの接線は２本あるということ）
なお、接点は　�Dを�Aに代入して、（−１，３）、（３，９）

次に、面積を求める。
接線�E�Fと曲線�@で囲まれる図形をｘ＝１で分けて考える
（つまり問題文中の点（１、−１のところで分けて考えるということ）

接線�Eと放物線�@のつくる面積　つまり　
積分範囲ｘが−１から１の範囲は　　　　　　　←接点のＸ座標が−１だから

　１　　　　　
∫　　｛（ｘの２乗−ｘ＋３）−（−３ｘ＋２）｝dx　　　…�G
　−１　　　　　
　　　　　　　　　　　←ポイント　面積＝∫上ｙ−下ｙ

同様に
接線�Fと放物線�@のつくる面積　つまり　
積分範囲ｘが１から３の範囲は　　　　　　　←接点のＸ座標が３だから

　3　　　　　
∫　　｛（ｘの２乗−ｘ＋３）−（５ｘ−６）｝dx　　　　…�H
　１　　　　　
　　　　　　　　　　　←ポイント　面積＝∫上ｙ−下ｙ

ゆえに、求める面積は�G�Hをそれぞれ計算して足せばよい








><質問６＞
>ベクトルａ＝（１，０，１）、ベクトルｂ＝（１，１，０）
>ベクトルｃ＝（１，１，１）、ベクトルｄ＝（０，１，２）がある。
>
>１）ベクトルｄ＝ｘ（ベクトルａ）＋ｙ（ベクトルｂ）＋ｚ（ベクトルｃ）
>　　を満たす実数ｘ、ｙ、ｚの値を求めよ。
>
>２）２つのベクトルａ−ベクトルｂとベクトルｃのなす書くの余弦を求めよ
>
>３）ベクトルｃ，ベクトルｄの両方に直交する単位ベクトルｅを求めよ


＜説明６＞
以下ａ、ｂ、ｃ、ｄはベクトルとする
ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ、ｗはスカラーつまり普通の数字とする

＊＊＊＊＊＊＊＊ベクトルの定義＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　”ベクトルとは数の組”
　　　たとえば（１，２）や　　　←平面つまり２次元の例
　　　　　（１，３，５）など　　←立体つまり３次元の例
　　　大雑把に言うと座標と同じ！！！　（矢印ではない！）
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

ａ＝（ａ１，ａ２，ａ３）
ｂ＝（ｂ１、ｂ２、ｂ３）
とすると
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊内積の定義＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　ａ・ｂ＝|ａ|｜ｂ|cosθ
　　ａ・ｂ＝ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋ａ３ｂ３　
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＊＊＊＊＊＊＊＊絶対値の定義＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　|ａ|＝√（ａ１の２乗＋ａ２の２乗＋ａ３の２乗）　
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊



＊＊＊＊＊＊＊＊定義＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　単位ベクトル＝大きさが１＝絶対値が１　
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊



＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　直交←→内積０　
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ポイント＊＊＊＊＊＊＊＊
　　ピンチにはピンチヒッター
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＜解答6＞
以下ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅはベクトルとする
ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ、ｗはスカラーつまり普通の数字とする

１）
　　　ベクトルｄ＝ｘ（ベクトルａ）＋ｙ（ベクトルｂ）＋ｚ（ベクトルｃ）
つまり
　　　　ｄ＝ｘａ＋ｙｂ＋ｚｃ
に
　　　ａ＝（１，０，１）、ｂ＝（１，１，０）、
　　　ｃ＝（１，１，１）、ｄ＝（０，１，２）
を代入して
　　（０，１，２）＝ｘ（１，０，１）＋ｙ（１，１，０）＋ｚ（１，１，１）
右辺を計算して、
（展開と同様にする。あるいは行列の計算と同様といってよい。ベクトルも行列の一種！！）

　　（０，１，２）＝（ｘ、０、ｘ）＋（ｙ、ｙ、０）＋（ｚ、ｚ、ｚ）
　　　　　　　　　＝（ｘ＋ｙ＋ｚ，ｙ＋ｚ，ｘ＋ｚ)

成分を比較して
　　　ｘ＋ｙ＋ｚ＝０
　　　ｙ＋ｚ＝０
　　　ｘ＋ｚ＝０
この連立方程式を解けばよい

２）
　　　　　ａ−ｂ＝（１，０，１）−（１，１，０）＝（０，−１，１）
　　　　　　　ｃ＝（１，１，１）
だから
内積の定義より、なす角をθとすると
　　cosθ＝｛（ａ−ｂ）・ｃ｝／｛|ａ−ｂ||ｃ|｝
　　　　　＝０
　　　　（理由　分子＝０＊１−１＊１＋１＊１＝０−１＋１＝０）

３）
　求める単位ベクトルを
　　　　　ｅ＝（ｕ，ｖ，ｗ）とする　　　　　←ポイント”ピンチにはピンチヒッター”
単位ベクトルだから（つまり絶対値が１だから）
　　　　　　　　ｕの２乗＋ｖの２乗＋ｗの２乗＝１　　…�@
またｃとｅは直交するから内積は０で
　　　　　　　　１＊ｕ＋１＊ｖ＋１＊ｗ＝０　∴ｕ＋ｖ＋ｗ＝０　　…�A　　
同様にｄとｅは直交するから内積は０で
　　　　　　　　０＊ｕ＋１＊ｖ＋２＊ｗ＝０　∴ｖ＋２ｗ＝０　　…�B
ゆえに�@�A�Bよりｕ，ｖ，ｗを求めればよい

>＜質問５＞　
>　　　（Ｘの２乗＋３Ｘ＋２）／（Ｘ−２）
>　　　が整数となるような整数Ｘの値を求めよ。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　ポイント　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　　整数問題のポイント

　�@（約数）＊（約数）＝（倍数）
　　　 …因数分解したら、それぞれは約数
　�A（倍数）／（約数）＝（整数）
　　　 …分数の形のとき、分子は分母の倍数、分母は分子の約数
　�B√（平方数）＝整数
　　 　　　　　　　　…ルートの形のとき、ルートの中身は平方数(4,9,16など）

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊



＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　ポイント　＊＊＊＊＊＊＊＊

　　割られる数＝（割る数）＊（商）＋（余り）

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＜解答＞
与式の割り算を実行すると、
商がｘ＋５であまりが１２であるから　
　　（Ｘの２乗＋３Ｘ＋２）＝（Ｘ−２）＊（Ｘ＋５）＋１２
つまり
　　与式＝（Ｘ＋５）＋１２／（Ｘ−２）
である。
与式が整数だから
　　１２／（Ｘ−３）
も整数
ゆえに　Ｘ−３　は　１２の約数である。
だから　Ｘ−３　＝　−１、−２、−３、−４、−６、−１２、
　　　　　　　　　　　１、　２、　３、　４、　６、　１２
ゆえに　Ｘ＝１，　０，−１，−２，−４，−１０,
　　　　　　３，　４，　５，　６，　８，　１４




><質問４>
>Ｘの２乗＋４ＸＹ＋５Ｙの２乗−８Ｙ＋１６＝０
>を満たす実数Ｘ、Ｙの値を求めよ。

＊＊＊＊＊＊＊　ポイント　＊＊＊＊＊＊＊＊

　　（実数）の２乗≧０

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

だから
　−−−−−−−−−−−−−−−−−
　　　△の２乗＋□の２乗＝０
　　　←→　△＝０　かつ　□＝０
　−−−−−−−−−−−−−−−−−　　
　　理由
　　　だってもし△が　１や２になったら　　△の２乗は　１や４となり
　　　□の２乗はマイナス１やマイナス４になってしまうだろ


＜解答＞
　　Ｘの２乗＋４ＸＹ＋５Ｙの２乗−８Ｙ＋１６＝０
を変形して
　　Ｘの２乗＋４ＸＹ＋４Ｙの２乗＋Ｙの２乗−８Ｙ＋１６＝０
　　∴　（Ｘ＋２Ｙ）の２乗＋（Ｙ−４）の２乗＝０
ゆえに
　　　　　Ｘ＋２Ｙ＝０　…�@　かつ　Ｙ＝４　…�A
この連立方程式　�@、�A　を解いて
　　　　　Ｘ＝−８、Ｙ＝４




>＜質問３＞
>有理数ａ、ｂに対してルート（３＋ａルート３）＝ａ＋ｂルート３
>が成り立つとき、ａ，ｂの値を求めよ。


＊＊＊＊＊＊＊　ポイント　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　　恒等式と同様

　　　（△実数）＋（□実数）ｉ＝０　→　（△実数）＝０、（□実数）＝０

　　　（△有理数）＋（□有理数）√＝０　→　（△有理数）＝０、（□有理数）＝０

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＜解答＞
　　√（３＋ａ√３）＝ａ＋ｂ√３
の両辺を２乗して
　　３＋ａ√３＝ａの２乗＋３ｂの２乗＋２ａｂ√３
ゆえに、
　　３＝ａの２乗＋３ｂの２乗　…�@　かつ　ａ＝２ａｂ　…�A
だから　この連立方程式　�@、�A　を　ａｂについて解くと
�Aより　
　　（２ｂ−１）ａ＝０　…�B
イ）ａ≠０のとき
　　　　ｂ＝１／２
　　これを�@に代入して　ａ＝３／２　　（ａ＝−３／２は不適）
ロ）ａ＝０のとき
　　�@より
　　　　ｂ＝１




>＜質問2＞
>ある２つの正整数の和は１５６で、最小公倍数は４５５の時
>最大公約数を求め、その２数も求めよ。



頻出問題です。
＜ヒント＞
わからない理由は主に次の点だと思われます。

最大公約数、最小公倍数のちゃんとした定義の理解不足
です。
それと　未知数をつかうこと

＊＊＊＊＊＊＊　ポイント　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊　

　ピンチにはピンチヒッター
　　＝わからないものは文字化（未知数化）

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＊＊＊＊＊＊＊＊＊　定義　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　2個の数ＡとＢの　最大公約数　とは
　　　Ａ＝ＰＧ
　　　Ｂ＝ＱＧ
　としたときの　Ｇ　のこと、
　ただし、ＰとＱは　互いに約数をもたない
　（互いに約数を持たない事を”互いに素”という）
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＊＊＊＊＊＊＊＊＊　定義　＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　2個の数ＡとＢの　最小公倍数　とは
　　　ＡＢ／Ｇ＝Ｌ　あるいは
　　　ＰＱＧ＝Ｌ
　としたときのＬのこと、
　ただし、Ｇは最大公約数で
　ＰとＱは　互いに約数をもたない
　（互いに約数を持たない事を”互いに素”という）
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊


＜解答＞
最大公約数をｇ
二つの数をａ，ｂとします。
ｐ、ｑを互いに素（つまり互いに約数をもたない）
とし
　ａ＝ｐｇ
　ｂ＝ｑｇ
とおくと、
問題から　2つの正整数の和は156であるから
　ａ＋ｂ＝１５６
よって　ｐｇ＋ｑｇ＝１５６
だから　（ｐ＋ｑ）ｇ＝１５６
右辺の１５６を素因数分解して
　　　（ｐ＋ｑ）ｇ＝２＊２＊３＊１３　　…�@
また、最小公倍数は455であるから
　　　　ｐｑｇ＝４３５
右辺の４３５を素因数分解して
　　　　ｐｑｇ＝５＊７＊１３　　…�A
�@、�Aより
　　　　ｇ＝１３　　…�B
�@の両辺を�B式で割って
　　　　ｐ＋ｑ＝２＊２＊３　　…�C
�Aの両辺を�B式で割って
　　　　ｐｑ＝５＊７　　　…�D
�C、�Dより
　　　　ｐ＝５、ｑ＝７
または　ｐ＝７、　ｑ＝５

ゆえに　ａ＝ｐｇ＝６５　
　　　　ｂ＝ｑｇ＝９１
または
　　　　ａ＝ｐｇ＝９１　
　　　　ｂ＝ｑｇ＝６５

＜質問１＞
universityの１０個の文字を１列に並べる順列の中で、次の条件を満たす
文字はそれぞれ何通りあるか。
（１）２つのｉの間に２つの文字が入っている文字列
（２）ｕ，ｒ，ｔの３文字がこの順列にならんでいる文字列。ただし、
　　　ｕとｒ，ｒとｔの間には他の文字が入っても入らなくてもよい。

＜解説１＞
（１）について
　ｉ　以外の８個つまり　u, n, v, e, r, s, t, y を並べてから
その間に（両端）も含めて　ｉ　を　１　個　ずつ　２個飛ばしに　並べるのである
つまり
u, n, v, e, r, s, t, y を　○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○　で表すと

ｉ ○ ○ ｉ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ i ○ ○ i ○ ○ ○ ○ ○　
○ ○ i ○ ○ i ○ ○ ○ ○　
○ ○ ○ i ○ ○ i ○ ○ ○　
○ ○ ○ ○ i ○ ○ i ○ ○　
○ ○ ○ ○ ○ i ○ ○ i ○　
○ ○ ○ ○ ○ ○ i ○ ○ i

と並べるのである。
このとき、○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○　の並べ方
つまり　　u, n, v, e, r, s, t, y 　の並べ方は
異なる８個の並べ方だｊから
　　　　８Ｐ８＝８！
であり、
ｉ　の並べ方は上の図のように
　　　７通り
であるだから
求める数は
　　　８！×７
となる。

（２）について
たとえば
Ａ，Ｂ，Ｃの３文字が「この順にならぶ」ということは
Ａ，Ｂ，Ｃの３文字の順番がＡＢＣと「順番が決定している」ということ。つまり
Ａ，Ｂ，Ｃの３文字の順番がＡＢＣの１通りであるということ。

　　 なお、Ａ，Ｂ，Ｃ　の並べ方は
　　 ＡＢＣ　ＡＣＢ　ＢＡＣ　ＢＣＡ　ＣＡＢ　ＣＢＡ
　　の　６通り　（異なる３個の並べ方　３Ｐ３＝３！＝６）

同様に、
ｕ，ｒ，ｔの３文字が「この順にならぶ」ということは
ｕ，ｒ，ｔの３文字の順番がｕｒｔと「順番が決定している」ということ。つまり
ｕ，ｒ，ｔの３文字の順番がｕｒｔの１通りであるということ。

　　 なお、ｕ，ｒ，ｔ　の並べ方は
u t r
u r t
t u r
t r u
r t u
r u t
　　の　６通り　（異なる３個の並べ方　３Ｐ３＝３！＝６）

ところで、

Ａ、Ａ、Ａ　の並べ方は　ＡＡＡ　の１通り。
同様に
ｂ、ｂ、ｂ　の並べ方も　　ｂｂｂ　の１通り。
ｕ、ｕ、ｕ　の並べ方も　　ｕｕｕ　の１通り。
○、○、○　の並べ方も　　○○○　の１通り。

だから、
ｕ，ｒ，ｔの３文字が”この順列にならんでいる”とき
ｕ，ｒ，ｔの３文字は同じ文字と考えてよい。

つまり、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊　　ｕ，ｒ，ｔの３文字が「この順にならぶ」ということは　　　　　　　　　　＊
＊　　○○○　を並べる方法と同じ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

ところで、

ｕ，ｒ，ｔの３文字が”この順列にならんでいる”とき
間に　文字が　あっても良い。

たとえば、　他に１文字　Ａ　だけあるとき　
つまり　ｕ，ｒ，ｔ，Ａ　の並べ方を考えると
ｕ，ｒ，ｔの３文字が「この順にならぶ」ときは
　　　　ｕ，ｒ，ｔ，Ａ　
　　　　ｕ，ｒ，A, ｔ　
　　　　ｕ，A, ｒ，ｔ　
　　　　A, ｕ，ｒ，ｔ
の４通り。
これは
○、○、○、Ａ　の４文字の並べ方と同じ
つまり
　　○○○Ａ
　　○○Ａ○
　　○Ａ○○
　　Ａ○○○
の４通り。
これは　４個のうち　同じものが　３個ある並べ方の公式
つまり
　　　　４！／３！＝４通り
となる。

間に２文字以上あっても　同様の議論になる。
たとえばｕ，ｒ，ｔ，Ａ，Ｂの並べ方は
　　　　ｕｒｔＢＡ
　　　　ｕｒｔＡＢ
　　　　ｕｒAｔＢ　
　　　　ｕAｒｔＢ　
　　　　AｕｒｔＢ
　　　　ｕｒＢｔA　
　　　　ｕｒ B Aｔ
　　　　ｕｒA Ｂｔ　
　　　　ｕAｒＢｔ　
　　　　A ｕｒＢｔ
　　　　ｕＢｒｔＡ　
　　　　ｕＢｒＡｔ　
　　　　ｕＢＡｒｔ
　　　　ｕＡＢｒｔ　
　　　　ＡｕＢｒｔ　
　　　　ＢｕｒｔＡ
　　　　ＢｕｒＡｔ
　　　　ＢｕＡｒｔ
　　　　ＢＡｕｒｔ
　　　　ＡＢｕｒｔ
の　２０　通り
これは　ｕｒｔを同じ文字３個だと考えて　
同じものを　３個含む　５個の並べ方だから
　　　　５！／３！＝２０通り
である。
このように考えていくと
universityの１０個の文字を１列に並べるうち、
ｕ，ｒ，ｔの３文字がこの順列にならんでいる方法は
ｕｒｔを同じ文字３個だと考えて、
同じものｕｒｔ３個、ｉが２個あるから
求める数は
　　　１０！／（３！２！）
となる。