アニメーションで見る相対性理論
速度の合成
前トピックスで導かれたローレンツ変換を使って、速度の合成式を導きます。
いま、列車の中の位置 0 、時刻 0 において、
ボールが列車の進行方向に、列車に対して速度 u で投げられたものとします。
もちろん、これは、線路上でも位置 0 、時刻 0 に起こったものとします。
このボールの速度は、線路にとっていくらになるのでしょうか。
普通に考えれば、v + uでしょう。
ところがローレンツ変換によれば、そうはならないのです。
列車の中の時刻 t0 に、
ボールは列車の中の位置 ut0に達します。
ここで、ローレンツ変換式を以下に再掲します。
 | (再掲16) |
 | (再掲22) |
この式を用いて、上記の時刻と位置を線路におけるものに変換します。
線路における時刻を t'0、
位置をx'0とすると、(16)式より、
 | (23) |
(22)式より、
 | (24) |
となります。したがって、線路から見たボールの速度は、
 | (25-1) |
となります。
このページの以下は飛ばして、先を読まれても支障ありません。
今、u' = x'0 / t'0 として、
u と u' の関係を調べてみましょう。
学校で既に習われた方はお気づきでしょうが、
(25-1)式は、v = 0 の場合を除き、
双曲線になります。実際に式を変形してみます。
 | (25-2) |
以上で、グラフは双曲線になることがわかります。
線路における座標系において、x' 軸の正方向を列車の進む向きにとり、
0 < v < c とすると、
u と u'の関係は以下の図のとおりになります。
なお、以下のグラフはどうしても双曲線に見えませんが、
ごかんにんのほどを。
