質量とエネルギーII

アニメーションで見る相対性理論
質量とエネルギーII

これまでの計算では、新たな運動量と質量の変化を求めましたが、これらの結果の下で運動量保存則が成り立っているか、元の式に代入して確かめる必要があります。状況は、以下の図でした。(前章の x'軸に沿って運動したという設定を無しにします。)

この状況下で、垂直方向の運動量保存則は、これまでの結果を勘案すると、

　(70)

です。ここで、

　(71)

です。更に、

　(72)

であるので、これを(70)式に代入すると、(71)式に注意すれば、(70)式が成立していることが分かります。

次に、水平方向の運動量保存則を確かめます。上の図において、２球は離れる前には速度(w)を持っていることと、離れる前と後の静止質量の区別に注意して、

　(73)

が、成立していれば良いことになります。それを確かめるために、式(73)の右辺を整理すると、

　(74)

となり、ここで(65)式より、

　(75)

であるので、(74)式は更に、

　(76)

となり、水平方向の運動量保存則(73)式は、

　(77)

となります。この式に、m'(0)とm(0)の関係式を入れて成立を確認すればいいのですが、それには、ちょっと注意が必要です。以下に(69)式を再掲します。

　(再掲69)

必要な注意とは、この式の w は、２球の重心から見たそれぞれの球の速さであるということです。この章のケースでは、それ(w')の二乗は、u が受けるスローモーション効果を以前の章と同様に勘定に入れて、

　(78)

したがって、この章では、(再掲69)式は w を w' に置き換えて、

　(79)

となります。この式を、(77)式に代入すると、

　(80)

となり、運動量が保存されていることが判ります。

設定された状況で、(63)式で表わされる運動量が保存されることが判ったので、運動量を(63)式に確定し、運動量保存則を要請し、今後は、その結果を受け入れることにします。