数学の比較的難問に挑戦してみよう！解ける人はかなりの数学実力保持者でしょう。 ご意見・ご質問はE-Mailで受け付けます。 有効なE-Mailについては、返答します。 問題にミスがあった場合など、気づかれた方も連絡してください。

サッカーボール問題 サッカーボールは次の条件で作られる。 �@正五角形と正六角形の多面体を球状にしたものである。 �A各々の五角形の周りは六角形に囲まれており、六角形の周りは五角形と六角形に交互に囲まれている。 �Bオイラーの多面体の定理によれば、面、頂点、辺の数の関係に「面の数 ＋ 頂点の数 ＝ 辺の数 ＋ ２」の関係がある。 五角形と六角形の数を求めよ。 ヒントが欲しい人はここにマウスを当ててください。 正五角形、正六角形の数をそれぞれ、x,yとすると、 1.変の数は (5x+6y)/2 となる。 2.条件�Aより、各頂点には３つの面の角が交えるので、頂点の数は、(5x+6y)/3 これだけ与えるとかなり核心に迫りますが、これだけでは求まりません。 頑張ってみよう。

相加相乗平均の関係 あらゆるiについて xi > 0 であるとき、 相加平均 ≧ 相乗平均 つまり、 Σxi / n ≧ n√(x1x2…xn) (等号成立は、x1 = x2 = … = xn のとき) である。これに関する下記を証明せよ。 (1)高校数学でも学ぶ、n=2のときについてこれを証明せよ。 (2)上記(1)を用いて、n=2,4,8,…2k(K=1,2,3,…)について証明せよ。 (3)あらゆる自然数nの場合について証明せよ。 ヒントが欲しい人はここにマウスを当ててください。 (1)(x1 + x2)2 - {2√(x1x2)}2 = x12 - 2x1x2 + x22 = (x1 - x2)2 ≧ 0 (2)数学的帰納法を利用する。「半分ずつ」に分ける。 (3)数学的帰納法を利用する。後はノーヒント。