x=
となる。 これから、次式が求まる。
ここで、上記式にはあえて、正数条件などを付さない。 Σの意味を漠然とでも覚えておられる人は多いであろう。 その和を計算する記号である。 表現の制約上、k=1から順にk=nまで(勿論kは離散的に整数のみ)の和を、
S=Σ[k=1,n]k と表すことにする。 この和は、
S=(1/2)n(n+1)
になる。 つまり、1から100までの和であれば、S100=(1/2)･100･101=5050 となる。
なぜ、この式で表されるかは、直感的には次のように考えられる。
S=1 + 2 + ･･･ + n
一方で、逆から表記すれば、
S=n + (n-1) + ･･･ + 1
である。 これをそれぞれ足せば、
S = 1 + 2 + ･･･ + n
+)S = n + (n-1) + ･･･ + 1
--------------------------------
2S = (n+1) + (n+1) + ･･･ + (n+1)
= (n+1)×n
S = (1/2)n(n+1)
では、この方法だと二次式の和 Σ[k=1,n]k2 に応用できないので、もう一度上記の計算を思考し直す。 念のため確認しておくが、二次式の各展開式は
(a±b)2=a2±b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
である。
Ik=(k+1)2-K2 とする。 展開すると(見方によっては、逆だが)、 Ik=(k2+2k+1) - k2=2k+1 である。 これについて、 T=Σ[k=1,n]Ikとすると、
T = (n+1)2 - n2 = 2n + 1
+ n2 - (n-1)2 = 2(n-1) + 1
・
・
・
+ 22 - 12 = 2･1 + 1
であるから、T=で表される左辺側は、第二項の引き算が、その下の第一項の足し算と打ち消し合い、結局、
T=(n+1)2-12=2Σ[k=1,n]k+n
2Σ[k=1,n]k=n(n+1)
Σ[k=1,n]k=(1/2)n(n+1)
次に三次式の展開式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 を利用して、
Uk=(k+1)3-k3=3k2+3k+1
とおいて、Uの和を計算すると、
(k+1)3-13=3Σ[k=1,n]k2+3Σ[k=1,n]k+n
で、Σ[k=1,n]kは、既に求めたものを代入して整理すると、
Σ[k=1,n]k2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
となる。 xn をxで微分すると n･xn-1 になることを覚えているだろうか？ でも、これが何故こうなるか証明できる人は少ないかもしれない。 では、これを確認する。
yn(x)=xn とする。
(T)n=1とする。微分の定義より、
y1'
={y(x+△x)-y(x)}/△x (!)△x→0(以下、特に誤解無ければ略す)
={(x+△x)-x}/△x
=△x/△x
=1
=1･x1-1
よってn=1の場合、成立。
(U)n=kのとき、成立すると仮定する。
つまり、
yk'
={(x+△x)k-xk}/△x
=k･xk-1
が成立するということである。
ここで、
yk+1
=xn+1
=x･xn
なので、
yk+1'
={(x+△x)･(x+△x)k-x･xk}/△x
={x･(x+△x)k+△x(x+△x)k-x･xk}/△x
=[x･{(x+△x)k-xk}+△x(x+△x)k]/△x
=x･{(x+△x)k-xk}/△x+(x+△x)k
=x･yk'+xk
=x･{k･xk-1}+xk (!)上記仮定より
=k･xk+xk
=(k+1)xk
(T)、(U)より数学的帰納法によって、nが自然数の範囲で成立する。 自然対数eは、よく見かける数である。 eはπと同じくらい物理数学には欠かせない数である。 余談ではあるが、eiπ=-1で、両者は密接な関係にあり、その展開式も類似する。 ここで、iは虚数で、i2=-1である。 本筋に話を戻す。
f(x)=exとして、
f'(x)
= {(ax+△x-ax)/△x} (!)a>0
=ax{(ax-1)/Δx}
ここで、右図を見てみる。
f(x)は、aの値にかかわらず、(0,1)を通過する。aによって、変わるのはその接線の傾きである。 f'(x)はf(x)の導関数と考えれば、この値が収束するのは明らかであろう。 ここで、f'(x)=1となるようなとき、
a=e
とする。 したがって、
{(e△x-1)/△x}=1
と表される。 また、 f'(x) =e()x
=()ax
であり、特にa=eであれば、f'(x)=exである。
