<018>フィボナッチ数列系とφ(1) 　20010423rep.

　改めて言うまでもないが、「フィボナッチ数列」とは下に示したように初項<１>、第２項<１>で、以下順次前２項の和となる数の数列である。しかしなにもこの初項と第２項が必ずしも１と１である必要はない。そこで前２項の和が第３項目になるという文法はそのままで、別の数を入れてみることにしよう。では順を追って展開を見ていくために、初項は１に固定し、第２項を２，３，４…と順次自然数を入れていくことにしよう。（なおここには通奏低音として、初項と第２項を別枠として扱い、「数は第３番目から始る」というテーマが流れている。）まず初項<１>、第２項<２>としたものが２番目の数列である。

＜初項１，第２項１の数列(フィボナッチ数列）＞

＜初項１，第２項２の数列＞

　これは見てすぐ分かるように、フィボナッチ数列の初項が抜け落ちただけで、以下順次１つずつずれた同じ数列である。次に初項<１>、第２項<３>にしたものを下に示した数列である。この数列は特別に「リュカ数列」と呼ばれている。その特徴は様々あるのだが（※１）、まず次のことが言える。

　　　「リュカ数の第ｎ項と黄金比φのｎ乗とは極似した値である。」

　今試しに黄金分割比φ（＝１．６１８…）の累乗した値を見ると次のようになる。なお、その下の数列は黄金分割比φの逆数１／φ（＝０．６１８…）の累乗の値である。

＜初項１，第２項３の数列(リュカ数列）＞

＜黄金分割比φの累乗の数列＞

＜黄金分割比の逆数１／φの累乗の数列＞

　さてここでφそのものは超越数（※２）だから何乗しても整数にはならないが、その逆数１／φを同じだけ累乗した数を足したり引いたりすることによって、整数化することが可能である。すぐ上の数列表を見てもらえば次のことが分かるだろう。

　　　「φⁿ±１／φⁿとリュカ数の第ｎ項とは等しい。」

　つまり黄金比φの累乗数から、黄金比φの逆数１／φを同じだけ累乗した数を引く（もしくは足す）ことによって得られる数列は、リュカ数そのものだということである。なお累乗する数が奇数の時は差から、偶数の時は和からこの数列が得られている。ということはリュカ数列の数値が、黄金分割比φの累乗の数値よりも、その逆数の累乗分だけプラスとマイナスにずれて振動しつつ、限りなく漸近していくということである。

φ¹−１／φ¹＝φ^1/2＝１
φ²＋１／φ²＝φ^1/3＝３
φ³−１／φ³＝φ^1/4＝４
φ⁴＋１／φ⁴＝φ^1/5＝７
φ⁵−１／φ⁵＝φ^1/6＝１１
φ⁶＋１／φ⁶＝φ^1/7＝１８
φ⁷−１／φ⁷＝φ^1/8＝２９
φ⁸＋１／φ⁸＝φ^1/9＝４７
φ⁹−１／φ⁹＝φ^1/10＝７６　　　（以下省略）

（この項、その２に続く）

（※１）例えば３項ごとに偶数が現れている。が、これは初項と第２項とが奇数なので、<奇数>＋<奇数>→<偶数>となり、また<偶数>＋<奇数>→<奇数>、<奇数>＋<偶数>→<奇数>であるから、<偶数>＋<偶数>→<偶数>のパターンがないためだ。また、任意の項を２倍して１項前の数を足すと、２項先の数値になるなどもあるが、ここでは省略。
（※２）「超越数」とはπや自然対数の底ｅのように、整数係数のどの代数方程式の根にもならない実数のこと。