生産関数に関する問題の研究
生産関数に関する問題は、ミクロ経済学とマクロ経済学を問わず出題されている。
コッブ＝ダグラス生産関数が新古典派経済成長モデルと複合的に出題されることもあるので、正確に理解しておけば得点源になるだろう。
はっきり言って、自分自身よく理解できていません。こうなったら、解法を丸暗記するしかないでしょう。
＜第１回 経済学検定試験 ２００２年３月実施より＞
問題１ 生産関数
下図の曲線は生産関数ｙ＝ｆ（ｘ）を描いており、ｘとｙはそれぞれ生産要素の投入 量と財の産出量である。誤っている記述は次のうちどれか。
（１）生産要素の平均生産物（平均生産性）は、どの投入水準においても限界生産物（限界生産性）を下回っている。
（２）生産要素の投入量が増加すると、平均生産物（平均生産性）は逓減していく。
（３）生産要素の投入量が増加すると、限界生産物（限界生産性）は逓減していく。
（４）生産要素の投入量が増加すると、完全競争市場での限界価値生産物（限界生産物価値）は逓減していく。
（答え）（１）
＜第２回 経済学検定試験 ２００２年１０月実施より＞
問題２ 生産関数
以下の図は、生産関数のグラフであり、ｙは生産量、Ｌは労働量、Ａ点は変曲点、
Ｌ＊はＡ点に対応する労働投入量を表している。この場合、以下の記述について正しいものはどれか。
（１）労働投入量がＬ＊よりも小さいとき、労働投入量を増加させると労働の限界生産性はしだいに低下する。
（２）労働投入量がＬ＊よりも小さいとき、労働投入量を増加させると労働の平均生産性はしだいに低下する。
（３）労働投入量がＬ＊のとき、労働の平均生産性と限界生産性は等しくなる。
（４）労働投入量がＬ＊よりも小さいとき、労働の限界生産性は平均生産性よりも大きくなる。
（１）労働投入量がＬ＊よりも小さいとき、労働の限界生産性は逓増している。
（２）労働投入量がＬ＊よりも小さいとき、労働の平均生産性は逓増している。
（３）労働の平均生産性と限界生産性が等しくなるのは、労働の平均生産性が最大となる労働投入量のときで、Ｌ＊の水準ではない。
したがって
（答え）（４）
＜第４回 経済学検定試験 ２００３年１０月実施より＞
問題３ 限界生産力
下図は、生産における投入量（ｘ）と生産量（ｙ）の関係および点Ｂと点Ｄにおける
接戦を示したものである。この場合、誤っているものはどれか。
（１）点Ａでは、限界生産力が逓増している。
（２）点Ｂでは、限界生産力が最小となっている。
（３）点Ｃでは、限界生産力が逓減している。
（４）点Ｅでは、限界生産力が負となっている。
（答え）（２）
＜第２回 経済学検定試験 ２００２年１０月実施より＞
問題４ コブ＝ダグラス型生産関数
コブ＝ダグラス型生産関数は以下のように表される。
Ｙ＝ＡＫαＬβ
ここで、Ｙは生産量、Ｋは資本、Ｌは労働、Ａ、α、βは定数で、Ａ＞０、
α＋β＝１、０＜α＜１、０＜β＜１である。完全競争を前提とするとき、このコブ＝ ダグラス型生産関数について、誤っている記述は次のうちどれか。
（１）このコブ＝ダグラス型生産関数では、代替の弾力性は１である。
（２）このコブ＝ダグラス型生産関数では、利潤分配率（資本分配率）はαである。
（３）このコブ＝ダグラス型生産関数では、資本の限界生産性はβＡ（Ｋ／Ｌ）αである。（４）このコブ＝ダグラス型生産関数では、規模に関して収穫一定である。
（答え）（３）
＜第４回 経済学検定試験 ２００３年１０月実施より＞
問題５ コブ＝ダグラス型生産関数
新古典派成長モデルにおいて、生産関数が次のように与えられている。
Ｙ＝ＡＫ１／３Ｌ２／３
ただし、Ｙ：産出量、Ａ：技術水準、Ｋ：資本ストック量、Ｌ労働人口とする。いま、Ａの成長率が４％、Ｋの成長率が６％、Ｌの成長率が３％である場合の実質賃金率の変化率として、正しいものはどれか。
（１）０％ （２）５％ （３）８％ （４）１３％
（答え）（２）
実質賃金率をｗとすると、Ｌに関する利潤最大化の条件は、
∂Ｙ／∂Ｌ＝（２／３）ＡＫ１／３Ｌー１／３ ＝ｗ
そこで
ΔＡ／Ａ＋（１／３）ΔＫ／Ｋ−（１／３）ΔＬ／Ｌ＝Δｗ／ｗ
したがって、
０．０４＋（０．０６／３）−（０．０３／３）＝０．０５
＊ここがポイントだ！
コブ＝ダグラス型生産関数
（１）コブ＝ダグラス型生産関数は、資本Ｋと労働Ｌの指数（肩の数値）を足して１になる形式のものである。
Ｙ＝ＡＫαＬ１−α または Ｙ＝ＡＫ１−αＬα で示される。
（２）規模に関して収穫不変である。
（３）限界生産力（例：Ｙ＝ＡＫ０．４Ｌ０．６のとき）
資本の限界生産力ＭＰＫ：生産関数を資本Ｋで微分した値
ＭＰＫ＝ΔＹ／ΔＫ → ＭＰＫ＝Ｋの肩・Ｙ／Ｋ＝０．４×Ｙ／Ｋ
労働の限界生産力ＭＰＫ：生産関数を労働Ｌで微分した値
ＭＰＬ＝ΔＹ／ΔＬ → ＭＰＬ＝Ｋの肩・Ｙ／Ｌ＝０．４×Ｙ／Ｌ
限界生産力は、ＫやＬの値により変化する。
（４）分配率（分け前）が一定である。（例：Ｙ＝ＡＫ０．４Ｌ０．６のとき）
ａ）資本の分配率は、資本Ｋの肩の数値０．４で示される。
＝国民所得に占める資本家の所得の割合は、４割である。
ｂ）労働の分配率は、労働Ｌの肩の数値０．６で示される。
＝国民所得に占める労働者の所得の割合は、６割である。
ｃ）代替の弾力性が１であるときに分配率が一定であると表現されることもある。