統計学に関する問題の研究
１ 確率編
問題１ 歪みのないサイコロを２回降って、出た目の合計が７となる確率はいくらか。
（１）１／１２ （２）１／６ （３）１／３ （４）１／２
サイコロを２回降るのだから、事象の数は６×６＝３６通り
そのうち、７になるのは６通り
よって答えは、（２）
問題２ ある町では駅から市役所行きのバスが１０分間隔で出ているとする。
そのことを知らずにバス乗り場に行った人が７分以上待つ確率として、正しいのは
どれか。
（１）０．１ （２）０．３ （３）０．５ （４）０．７
１０分間隔でバスが出るので、バスを待つ時間をＸとすれば、０≦Ｘ≦１０の間におさまる。そのうち、７分以上待つとは、７≦Ｘ≦１０ということなので、３０％の確率である。よって答えは、（２）
問題３ 現在の市況では株価が上昇する確率は１／２であるという。いま、５銘柄の株式を購入したとき、そのうち２銘柄以上の株価が上昇する確率として、正しいのはど れか。
（１）２／５ （２）３／５ （３）１３／１６（４）１５／１６
２銘柄以上の株価が上昇する場合を考えるに当たり、全体の確率を１として、
（１）１銘柄も株価が上昇しない場合と（２）１銘柄しか上昇しない場合を控除すればよい。
５銘柄なので、起こる事象の数は、２×２×２×２×２＝３２通り。
そのうち、（１）１銘柄も株価が上昇しない場合は１通り。
（２）１銘柄しか上昇しない場合は５通り。
よって、２銘柄以上の株価が上昇する場合は、２６通り。
その確率は、２６÷３２＝１３／１６
答えは、（３）
２項分布の確率計算と解説書には書いてある。
問題４ ある投資家が保有している株式４銘柄中３銘柄の株価が上昇する確率は次のうちのどれか。ただし、株価が上昇する確率はどの銘柄も１／２とする。
（１）１／８ （２）１／４ （３）１／２ （４）３／４
株価の起こりうる事象の数は、２×２×２×２＝１６通り
３銘柄だけ上昇する場合を考えると、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４つの株式で考えると、
（Ａ，Ｂ，Ｃ）、（Ａ，Ｂ，Ｄ）、（Ａ，Ｃ，Ｄ）、（Ｂ，Ｃ，Ｄ）の４通りしかない。
よって、株式４銘柄中３銘柄の株価が上昇する確率は、４／１６＝１／４
答えは、（２）
解説書では、「株価が上昇する／下落する」をベルヌイ試行と考えれば、ｎ株中ｘ株が上昇する確率は２項分布に従うことになるという。
＊ベルヌイ試行
「成功」「失敗」（と仮に名づける）の２つのどちらかが、それぞれ確率 p および q=1-p （一定）で起こる試行を、独立に何度も繰り返す試行。
＊二項分布
一定の長さ（回数）のベルヌイ試行において、「成功」がおこる回数の確率分布が、「二項分布」である。
二項分布のパラメータは、2つある。
・全試行回数 n
・1回あたりの「成功」確率 p
→ このときの二項分布を B( n , p ) と表す。
確率変数 X が二項分布 B( n , p ) に従うとき、その具体的な確率 P( X = x ) は公式を用いて求めることができる。
（その公式は、記憶して使いこなす必要がある。）
問題５ 天気には晴れと雨の２つの場合しかなく、晴れと雨はランダムに生じ、雨の降る確率が１／３であるとしよう。天気予報があたる確率を０．７としたとき、「今日は雨」という予報が出たときに本当に雨が降る確率を、小数点第２位までで求めよ。
（１）０．２２ （２）０．３３ （３）０．５４ （４）０．６４
（解答）ベイズの定理に基づく確率計算の問題である。
（０．７×１／３）／（０．７×１／３＋０．３×２／３）＝０．５４
＊ベイズの定理
Ａ1,Ａ2,Ａ3,････Ａn を ｎ個の互いに排反な事象とし
Ａi ∩ Ａj ＝ φ （i≠j）
Ａ1 ∪ Ａ2 ∪ ････ ∪ Ａn ＝ Ｓ とする。
ＢをＰ(Ｂ)＝０ でない任意の事象とすれば
Ｐ(Ａk)Ｐ(Ｂ｜Ａk)
Ｐ(Ａk｜Ｂ) ＝ ―――――――――――――――
n
ΣＰ(Ａj)Ｐ(Ｂ｜Ａj)
j=1 (k＝1,2,3,････,ｎ)
が成り立つ これをベイズの定理という。
ここで、Ｐ(Ａj) を 事前確率 Ｐ(Ａk｜Ｂ) を 事後確率という。
これは、確率論の歴史上 多くの論議の対象となった。誤解と誤用のため、
この法則が信頼されなかった時期がある。
トーマス・ベイズ（Reverend Thomas Bayes c.1702 〜1761 イギリス)
＜以上 『統計小事典』統計教育推進会 編 より引用＞
問題６ 歪みのないコインを３回投げて、表が２回以上出る確率として、正しいものはどれか。
（１）１／８ （２）１／４ （３）１／３ （４）１／２
コインを３回投げて起こりうる事象の数は、２×２×２＝８通り。
コインが１回も表が出ない場合は、１通り。
コインが１回だけ表が出る場合は、３通り。
よって、４／８＝１／２だから、答えは（４）
問題７ 歪みのないコインを１００回投げたとき、表が６０回出た。この歪みのないコインをあと１００回投げたとき、表が出る合計回数の予想として、正しいものはどれか。
（１）６０回 （２）１００回 （３）１１０回 （４）１２０回
歪みのないコインを投げるのだから、表の出る確率は１／２である。
従って、あと１００回コインを投げれば、５０回表が出ると考えられる。
よって、合計回数の予想は、１１０回だから、答えは（３）
（２００４．６．２０改訂）