成長の問題は何も新しいことではなく、古くからの論争の新しい口実であり、過去対将来といういつも経済学を陰謀を企て、心の中を占拠してきたものである。
ジェームズ・トービン
もしあなたが、あなたのおじいさんたちに彼らが若かったときに彼らの人生の何が好きだったのかについて話したのならば、あなたは経済学について重要な講義である：たいていの国々のたいていの家族にとって本質的に改良された生活水準の標準的な測定手段を学んだことでしょう。この進歩は所得の上昇に由来します。つまりそれは人々に非常にたくさんの財・サービスを消費することを可能にしました。
経済成長を測定するために、経済学者たちは国内総生産のデータを使います。つまりそれは経済におけるすべての人の総所得を測定しています。アメリカのＧＤＰは今日では、１９５０年の水準の３倍以上です。そして１人当たりの実質ＧＤＰは、１９５０年の水準の２倍以上です。任意の年において、我々は各国の生活水準の大きな違いもまた観察することができます。表４−１は１９９７年における世界の主要１２カ国の１人当たりの所得を示しています。
アメリカは１人当たり２８，７４０ドルの所得でリストの１番です。ナイジェリアはアメリカの約３％の、１人当たりほんの８８０ドルの所得です。この章と次の章での目標は、時と国を超えたこれらの相違が何から起こるかを理解することです。第３章では、我々は経済の産出物の資源として生産要素、つまり資本と労働、そして生産科学技術を確認しました。そして、このようにして総所得を認識しました。所得における相違は、それゆえに、資本、労働、科学技術の相違に由来しなければならない。 我々の第１の仕事はソロー成長モデルと呼ばれる経済成長理論を発展させることです。第３章での我々の分析は、我々がいかにして経済が生産し、その時にその点でその生産物を使うのかを述べることを可能にしました。その分析は静学的で、つまり経済のスナップ写真でした。なぜ我々の国民所得が成長し、そしてしばしば経済が他の国々より早く成長するのか説明するために、我々はいつも経済における変化を述べるために我々の分析を拡げます。そのようなモデルを発展させることによって、我々は分析を劇的な、つまり写真よりももっと映画のようにします。ソロー成長モデルは、いかにして貯蓄、人口増加、そして科学技術的な進歩が経済の産出物の水準とその成長に影響を及ぼすのか示します。この章では、我々は貯蓄と人口増加の役割を分析します。次の章では、我々は科学技術の進歩を紹介します。
（脚注）
ソロー成長モデルは、経済学者のロバート・ソローにちなんで名付けられた。そしてそれは１９５０年代と１９６０年代に発展させられた。１９８７年には、ソローは経済成長における彼の仕事に対してノーベル経済学賞を獲得しました。そのモデルはロバート・Ｍ・ソローの「経済成長理論における分配」というエコノミック・ジャーナル誌での論文において紹介されました。
４−１ Ｔｈｅ Ａｃｃｕｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃａｐｉｔａｌ（資本の蓄積）
ソロー成長モデルはいかにして資本ストックの成長、労働力の成長、そして技術進歩が経済において相互作用し、そしていかにしてそれらが、ある国の財・サービスの総産出物に影響を及ぼすのか示すために作られました。我々はこのモデルを段階的に組み立てる。我々の最初のステップは、いかにして財の供給と需要が資本の蓄積を決定するのか検証することです。この最初のステップでは、我々は労働力と科学技術は固定されていると仮定します。我々はそれから、この章でのその後、労働力における変化を紹介することによって、そして次には科学技術の変化を紹介することによって、これらの仮定を緩めます。
Ｔｈｅ Ｓｕｐｐｌｙ ａｎｄ Ｄｅｍａｎｄ ｆｏｒ Ｇｏｏｄｓ（財の供給と需要） 財の供給と需要が、第３章における我々の経済の静学的モデルにおいて中心的な役割を演じました。ソローモデルにとってもそれは同じことである。財の供給と需要を考えることによって、我々は何が与えられた時間でいくら生産し、いくらこの産出物が代替的用途に配分されるのかを決定することを見ることができます。
Ｔｈｅ Ｓｕｐｐｌｙ ｏｆ Ｇｏｏｄｓ ａｎｄ Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
Ｆｕｎｃｔｉｏｎ（財の供給と生産関数）
ソローモデルにおける財の供給は、いまや親しみのある生産関数に基づいており、つまりそれは産出物が資本ストックと労働力に依存していることを表現すると以下の通りである。：Ｙ＝Ｆ（Ｋ，Ｌ）
ソロー成長モデルは生産関数が規模に関して不変であることを仮定しています。この仮定はしばしば、現実的に考えられ、そして我々が簡単に見ようとすれば、それは分析を単純化する手助けをします。もしｚＹ＝Ｆ（ｚＫ，ｚＬ）においてｚが正の数ならば、生産関数は規模に関して収穫不変であることを思い出しなさい。つまり、もし我々が資本と労働の両方にｚをかけるのならば、我々はまた産出金額にｚをかけます。
規模に関する収穫不変である生産関数は我々に労働力の大きさと相対的な経済におけるすべての数量を分析することを可能にしている。これが事実であることを見るために、
Ｙ／Ｌ＝Ｆ（Ｋ／Ｌ，１）を獲得するために方程式にｚ＝１／Ｌを設定しなさい。
この方程式は労働者１単位当たりの金額Ｙ／Ｌが労働者１単位当たりの資本金額Ｋ／Ｌの関数であることを示します。（もちろん、数字の「１」は収穫不変であり、こうして無視できます。）規模に関する収穫不変の仮定は経済の大きさが、つまり労働者の人数で測定されるのだが、労働者１単位当たりの産出物と労働者１単位当たりの資本の間の相関関係に影響を与えないことを意味します。我々はこれらを示すために、小文字で示すことにしよう。だからγ＝Ｙ／Ｌが労働１単位当たりの産出物、そしてｋ＝Ｋ／Ｌは労働１単位あたりの資本である。我々は生産関数を以下の通りに書くことができます。：
γ＝ｆ（ｋ）
そこでは、我々はｆ（ｋ）＝Ｆ（ｋ，１）と定義します。図４−１はこの生産関数を描画してます。
この生産関数の傾きは、所与の追加資本１単位で労働者が生産する追加産出量（資本の限界生産力ＭＰＫ）がどのくらいかを示します。この金額は資本の限界生産物ＭＰＫです。数学的に、我々は以下のように記述します。：ＭＰＫ＝ｆ（ｋ＋１）−ｆ（ｋ）
図４−１では、資本金額が増加すると、生産関数は水平になり、生産関数が資本の限界生産物が逓減することを表していることを指摘することに注目しなさい。
ｋは低いとき、平均的な労働者は働くためにほんの少しの資本のみを所有します。だから追加的な資本１単位は非常に役に立ち、たくさんの追加的な産出物を生産します。ｋが高いと、平均的な労働者はたくさんの資本を所有します。だからほんの少しの生産しか増加しません。
Ｔｈｅ Ｄｅｍａｎｄ ｆｏｒ Ｇｏｏｄｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｃｏｎｓｕｍｐ −ｔｉｏｎ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ（財の需要と消費関数）
ソローモデルにおける財の需要は消費と投資に由来します。言い換えれば、労働者１人当たりの産出物γは労働者１人当たりの消費ｃと労働者１人当たりの投資ｉの間に分割されます。： γ＝ｃ＋ｉ
この方程式は労働者１人当たりの経済の国民所得勘定恒等式です。それは、政府購入（現在の目的のために我々は無視できます）と純輸出（我々は閉鎖経済を仮定しているので）を省略することに注目しなさい。
ソローモデルは毎年、人々が彼らの所得をｓの割合で貯蓄し、（１−ｓ）の割合で消費すると仮定します。我々はこの概念を簡単な形態で以下のような消費関数で表現することができます。：ｃ＝（１−ｓ）γ
そしてそこでは、ｓは貯蓄率で、ゼロと１の間の数字です。いろいろな政府の政策が潜在的に国民貯蓄率に影響を及ぼすことを心に留めて置きなさい。だから我々の目標の１つは貯蓄率が意味することが何であるのか発見することです。しかしながら、今では、我々は所与のものとして貯蓄率ｓを取り扱います。
この消費関数が投資のために何を意味するのか見るために、国民所得勘定恒等式におけるｃに（１−ｓ）γを代入すると以下のようになります。：
γ＝（１−ｓ）γ＋ｉ
この式を再整理すると、以下のようになります。
ｉ＝ｓγ
この方程式は、我々が第３章で最初に見たように、投資と貯蓄が等しくなることを示しています。このようにして、貯蓄率ｓはまた投資に対して貢献する産出物の割合です。
我々は今、ソローモデルの２つの主要な構成要素、つまり生産関数と消費関数を紹介しました。つまりそれはいつも経済を述べています。いかなる与えられた資本ストックｋにとっても、生産関数γ＝ｆ（ｋ）は経済がいくら産出物を生産するのか決定し、そして貯蓄率ｓは消費と投資の間の産出物の配分を決定します。
Ｇｒｏｗｔｈ ｉｎ ｔｈｅ Ｃａｐｉｔａｌ Ｓｔｏｃｋ ａｎｄ ｔｈｅ
Ｓｔｅａｄｙ Ｓｔａｔｅ（資本ストックの成長と定常状態）
いつでも、資本ストックは経済の産出物の主要な決定要因であるが、資本ストックはいつか変化することがあり、そしてそれらの変化は経済成長に導かれます。特に、２つの力、つまり投資と減価償却が資本ストックんび影響を及ぼします。投資は新しい工場と設備に対する支出として見なされます。そしてそれは資本ストックの増加を引き起こします。減価償却は古い資本が擦り切れることを見なします。そしてそれは資本ストックの減少を引き起こします。順番にこれらのおのおのを考えましょう。
我々がすでに注目したように、労働者１人当たりの投資ｉはｓγに等しくなる。生産関数にγを代入することにより、我々は１人当たりの労働者の資本ストックの関数として、１人当たりの労働者の投資を表現することができます。：
ｉ＝ｓｆ（ｋ）
この方程式は存在する資本ストックｋに対して新しい資本ｉの蓄積を関係づけています。図４−２はこの相関関係を示しています。
この図は、ｋの値がいつでも、どのようにして産出金額が生産関数ｆ（ｋ）によって決定され、そして消費と投資の間への産出物の配分が貯蓄率ｓによって決定されることを描いています。モデルに減価償却を組み入れるために、我々は資本ストックが毎年擦り切れる率δを仮定します。ここではδ（ギリシャ文字デルタの小文字）は減価償却率と呼ばれます。例えば、もし資本が平均２５年間持ちこたえるのならば、そのとき減価償却率は年率４％です。（δ＝0.04）毎年減価償却される金額はδｋです。図４−３はいかにして減価償却の金額が資本ストックに依存するのかを示しています。
我々はこの方程式で投資と減価償却の資本ストックに対する衝撃を表現することができます。： 資本ストックの変化＝投資−減価償却Δｋ＝ｉ − δｋ
そこでのΔｋは、ある年と次の年の間の資本ストックの変化です。投資ｉはｓｆ（ｋ）に等しくなるので、我々はこれを以下のように書くことができます。：
Δｋ＝ｓｆ（ｋ）−δｋ
図４−４はこの方程式の用語、投資と減価償却を異なった資本ストックｋの水準でグラフ化しています。資本ストックが高ければ高いほど、ますます産出物と投資の金額は大きくなります。また資本ストックが高ければ高いほど、ますます減価償却の金額も大きくなります。
生産関数の形態は労働者１人当たりの産出物が労働者１人当たりの資本の平方根に等しくなることを示しています。その事例を完成させるために、産出物の３０％が貯蓄され（ｓ＝０．３）、毎年の資本の減価償却が１０％（δ＝０．１）で、経済が労働者１人当たりの資本が４単位（ｋ＝４）で始めると仮定しましょう。これらの数字は所与のもので、我々は今この経済にその後何が起こるのか検証することができます。
我々は最初の年は生産物の生産と分配を見ることによって始めます。生産関数によれば、労働者１人当たりの資本４単位は労働者１人当たりの生産物２単位を生産します。生産物の３０％は貯蓄されて、投資され、７０％が消費されるので、ｉ＝０．６でｃ＝１．４です。また資本ストックの減価償却率は１０％なので、δｋ＝０．４です。０．６の投資と０．４の減価償却では、資本ストックにおける変化はΔｋ＝０．２です。２年目は労働者１人当たりの資本４．２単位で始まります。
表４−２はいかにして経済が毎年毎年進歩するのかを示しています。毎年、新しい資本が加えられて産出物が成長します。多くの年数を経て、経済は労働者１人当たりの資本９単位で定常状態に接近します。この定常状態において、０．９の投資がきっかりと０．９の減価償却を相殺します。だから資本ストックと産出物はもはや成長しません。
多くの年の経済成長に従うことは、定常状態の資本ストックを見つけだす１つの方法です。しかしほんの少し計算を必要とする別の方法があります。以下の方程式を思い出しなさい。それは Δｋ＝ｓｆ（ｋ）−δｋ です。
この方程式はｋがいかにして時間を通じて発展させるかを示しています。定常状態は（定義によって）ｋの値はΔｋ＝０なので、我々は０＝ｓｆ（ｋ＊）−δｋ＊であるのか、同様に、以下の通りであることを知っています。
この方程式は労働者１人当たりの資本ｋ＊の定常状態の資本水準を見つけだす方法を提供します。我々の事例から数字と生産関数を置き換えることにより、我々は以下の方程式を獲得します。
さて、この方程式の両辺を２乗すると、ｋ＊＝９を獲得します。定常状態の資本ストックは労働者１人当たり９単位です。この結果は表４−２における定常状態の計算を確認するものである。 ＣＡＳＥ ＳＴＵＤＹ
Ｔｈｅ Ｍｉｒａｃｌｅ ｏｆ Ｊａｐａｎｅｓｅ ａｎｄ Ｇｅｒｍａｎ Ｇｒｏｗ −ｔｈ（日本とドイツの成長の奇跡）
日本とドイツは経済成長の２つの成功の物語があります。今日ではそれらは経済的に強力であるのだが、１９４５年における両国の経済は悲惨なものであった。第２次世界大戦は両国の資本ストックの大部分を破壊しました。しかしながら、戦後数十年で、これら２国は記録上で最も急激な経済成長率を体験しました。１９４８年と１９７２年の間に、１人当たりの産出物は日本において１年当たり８．２％で成長し、ドイツでは１年当たり５．７％で成長しました。相対的にアメリカでは年率ほんの２．２％でした。
日本とドイツの戦後の体験はソロー成長モデルの立場からはそんなに驚くべきことでしょうか？定常状態の経済を考えなさい。今戦争が資本ストックのいくらかを破壊すると仮定せよ。（つまり、それは図４−４において、資本ストックはｋ＊からｋ１まで落ち込むことを仮定しています。）驚くべきでないのは、産出水準は直ぐに下落する。しかしもし貯蓄率、つまり貯蓄と投資に対する産出物の割合が変化しないのならば、経済はそのとき高い成長を経験するでしょう。産出物は、低い資本ストックでも成長するので、減価償却で置き換えられるよりも投資で加えられる方が資本はより大きくなる。この高い成長率は経済がその定常状態に接近するまで続く。ここでは、資本ストックの一部が破壊されることが直ぐに産出物を削減するのだが、それは通常の成長よりも高い成長が生じる。日本とドイツにおける急成長の「奇跡」は、しばしば経済ジャーナリズムによって述べられることであるが、それはソローモデルが戦争でかなり資本ストックを削減した国々にとって予測されることなのです。
Ｈｏｗ Ｓａｖｉｎｇ Ａｆｆｅｃｔｓ Ｇｒｏｗｔｈ
（どのようにして貯蓄は成長に影響を及ぼすのか？）
日本とドイツの第２次大戦後の成長の説明は、ケーススタデイーで述べたように全く簡単なことではない。別の相関的な事実として、日本とドイツの両方がアメリカよりも彼らの産出物に対して高い割合で貯蓄し、投資するということがあります。経済的な行動における国際的な相違をもっと深く理解するために、我々は異なる貯蓄率の効果を考えなければならない。
貯蓄率が増加するとき、経済に何が起こるのか考えなさい。図４−５はそのような変化を示しています。経済は貯蓄率ｓ１と資本ストックｋ１＊という定常状態で始まることを仮定しなさい。貯蓄率がｓ１からｓ２まで増加するとき、ｓｆ（ｋ）曲線は上方へシフトします。最初の貯蓄率がｓ１、そして最初の資本ストックがｋ１＊のとき、投資金額はちょうど減価償却で相殺されます。貯蓄率が上昇すると直ぐに、投資はより高くなるが、資本ストックと減価償却は変わりません。それゆえに、投資は減価償却を超過します。資本ストックは徐々に、経済が新しい定常状態ｋ２＊に到達するまで上昇します。つまりそれは古い定常状態よりもより高い資本ストックとより高い産出物になります。
ソローモデルは貯蓄率が定常状態の資本ストックの重要な決定要因であることを示しています。もし貯蓄率が高ければ、経済は大きな資本ストックと高い産出物の水準を持つでしょう。もし貯蓄率が低ければ、経済は小さな資本ストックと低い産出物の水準となるでしょう。この結論は財政政策の多くの議論に光をあてます。我々が第３章で見たように、政府の赤字予算は国民貯蓄を削減し、投資を締め出します。さて、我々は削減された長期の貯蓄率という結果が低い資本ストックと低い国民所得であるということを見ることができます。これはなぜ多くの経済学者がしつこい財政赤字に批判的であるかという理由である。ソローモデルは貯蓄と経済成長の間の相関関係に対して何と言っているのでしょうか？より高い貯蓄がソローモデルにおいてより早い成長に導きますが、しかしほんの一時的なことです。貯蓄率の増加は経済が新しい定常状態に到達するまで成長率を引き上げます。もし経済が高い貯蓄率を維持し続けるのならば、経済はまた大きな資本ストックと高い産出物の水準を維持するが、それは永遠には高い成長率を維持しないでしょう。
さて我々はいかにして貯蓄が成長に影響を及ぼすのか理解し、我々は第２次世界大戦後の日本とドイツの見事な経済的な行動をもっと深く説明できます。戦争のために、両国の最初の資本ストックは低いのみでなく、両国の定常状態の資本ストックは両国の貯蓄率が高いので高かった。これらの事実の両方は１９５０年代と１９６０年代におけるこれらの２カ国の急激な成長を説明を手助けします。
ＣＡＳＥ ＳＴＵＤＹ
Ｓａｖｉｎｇ ａｎｄ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ Ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ Ｗｏｒｌｄ
（世界中の貯蓄と投資）
我々はこの章を重要な問題で始めました。：なぜいくらかの国々は他国が貧困の苦境に陥っている間にそんなに豊かなのでしょうか？我々の分析は我々をその答えに急接近しました。ソローモデルによれば、もしある国がその所得に対して貯蓄と投資の大部分が貢献しているのならば、その国は高い定常状態の資本ストックと高水準の所得を持つことでしょう。もしある国がその所得のほんの少しだけを貯蓄し、投資するのならば、その定常状態の資本と所得は低くなるでしょう。
今、もし現実におけるこの理論的な結果が生活水準における大きな国際的な格差を説明することを手助けするのならば、それを見るために、いくらかのデータを見ましょう。図４−６は８４カ国のデータ分布図です。（その図は世界経済の大部分を含んでいます。それは主要産油国とこの時代の間に共産主義であった国々を排除しています。なぜならばそれらの体験はそれらの特別な環境によって説明されるからです。）データは投資と１人当たりの所得水準に対する産出物の割合との間の正の相関関係を示しています。つまりそれは、アメリカや日本のような、高い投資率の国々は、普通、高い所得を持つが、然るに、ウガンダやチャドのような、低い投資率の国々は所得が低い。このようにして、ソローモデルが予測するように、投資率はある国が豊かであるか、貧乏であるのかどうかの重要な決定要因です。
この図で示される強い関係は重要な事実です。しかしそれはそれを再び解決するのと同様に多くの問題を発生させます。ある人が自然に質問するかもしれない。なぜ貯蓄率と投資は国から国へと変化するのですか？税政策、退職のパターン、金融市場の発展、そして文化の違いのように、多くの潜在的な答えがあります。加えて、政策の安定性が役割を果たしているのかもしれない。：驚くべきでないのは、貯蓄率と投資は頻繁に戦争、革命、干ばつのある国々で低くなる傾向があります。貯蓄と投資はまた、汚職と見なされるように測定された貧しい政治制度の国々において低くなる傾向があります。図４−６における証拠の最終的な解釈は、反対の結果です。：たぶん高い所得水準はいくらか高い貯蓄率と投資を促進します。あいにくにも、多くの可能性のある説明が最も重要であることであることについて、経済学者たちの間でコンセンサスがない。
投資率と１人当たりの所得の間の関係は強く、そしてそれは、なぜいくらかの国々が豊かで、他国が貧乏なのかについて、重要な糸口ですが、それは話の全部ではない。これら２つの変数の相関関係はまったく完全ではない。例えば、メキシコとジンバブエは同じ投資率ですが、１人当たりの所得はメキシコが３倍以上高い。貯蓄と投資の向こう側に他の生活水準の決定要因が存在するに違いない。我々はそれゆえに、どんな他の変数が図に入ってくるのかその後の章で国際的な相違に戻ります。
（第４章の２に続く）