Ａｐｐｅｎｄｅｘ
Ｔｈｅ　Ｃｏｂｂ−Ｄｏｕｇｌａｓ　Ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
　　（付録：コッブ＝ダグラス生産関数）

　いかにして実際の経済は資本と労働をＧＤＰに変えるのか述べる生産関数は何であるのでしょうか？この質問に答えることは、アメリカ上院議員とある数学者の間での共同研究に由来します。
　ポール・ダグラスは１９４９年から１９６６年までイリノイ州のアメリカ上院議員でした。しかしながら、１９２７年には、彼はまだ経済学の教授だったとき、彼は驚くべき事実を書き残しました。：資本と労働の間への国民所得の分配は長い間大雑把に不変でした。言い換えれば、経済が順調になったとき、労働者たちの総所得と資本の所有者たちの総所得はまったく同じ率になりました。この観察はダグラスを何が要素の分配を一定に導くのか不思議だと思わせました。
　ダグラスはチャールズ・コッブという数学者にこう質問しました。もし何かが生産要素がいつもそれらの限界生産物を作り出すのならば、生産要素の分配の不変を産出するのは、何の関数なのか？生産関数は次の２つの特徴を持つ必要があるでしょう。それは、
　　　　　　　　　　　資本所得＝ＭＰＫ×Ｋ＝αＹ
と 労働所得＝ＭＰＬ×Ｌ＝（１−α）Ｙであり、つまりそこではαはゼロと１の間で不変であり、資本の所得の分配を測定しています。つまり、αは何が資本となる所得の分配と、労働となる所得の分配を決定するということです。コッブはこの特徴を関数で以下のように示しました。
　　　　　　　　　　　　Ｙ＝Ｆ（Ｋ，Ｌ）＝ＡＫαＬ１−α
そして、ここではＡはパラメーター（媒介変数）で、役に立つ科学技術の生産性を測定するゼロより大きい数字です。この関数はコッブ＝ダグラス関数として知られるようになりました。この生産関数の特徴のいくらかをより詳しく見ていくことにしよう。最初に、コッブ＝ダグラス関数は規模に関して不変です。それは、もし資本と労働が同じ比率で増加するのならば、そのとき産出物はその比率と同じように増加するということです。
　次に、コッブ＝ダグラス関数の限界生産物を考えなさい。労働の限界生産物である
　　　　ＭＰＬ＝（１−α）ＡＫαＬ１−α
と資本の限界生産物である
ＭＰＫ＝αＡＫα−１Ｌ１−α です。
これらの方程式から、αがゼロと１の間であることを思い出すと、我々は何が２つの要素の限界生産物に変化を引き起こすのか見ることができます。資本金額の増加はＭＰＬを引き上げ、ＭＰＫを削減します。同様に、労働金額の増加はＭＰＬを減少させ、ＭＰＫを引き上げます。パラメーターＡを増加させる科学技術的な進歩は両方の要素の限界生産物を均等に引き上げます。
　コッブ＝ダグラス関数の限界生産物はまた以下のように書くことができます。
　　　　　　　ＭＰＬ＝（１−α）Ｙ／Ｌ
ＭＰＫ＝αＹ／Ｋ
　ＭＰＬは労働者１人当たりの産出物の比率であり、ＭＰＫは資本１単位当たりの産出物の比率です。Ｙ／Ｌは労働の平均生産力と呼ばれます。そしてＹ／Ｋは資本の平均生産力と呼ばれます。もし生産関数がコッブ＝ダグラス型であるのならば、そのとき要素の限界生産力はその平均生産力に対して比例している。
　我々は今、もし要素がその限界生産物を持つのならば、そのときパラメーターαは本当に我々に労働がいくらになり、資本がいくらになるのか教えてくれることを確かめることができます。総賃金の支払い、つまりそれは我々がＭＰＬ×Ｌであることを見たのだが、それは単に（１−α）Ｙです。それゆえに、（１−α）は産出物の労働の分配です。同様に、資本からの総収入は、ＭＰＫ×Ｋ、つまりαＹです。そしてαは産出物の資本の分配です。資本所得に対する労働所得率は不変です。それは（１−α）／αであり、ちょうどダグラスが観測したものです。要素の分配はパラメーターαに依存するだけでなく、パラメーターαによって測定された資本の金額あるいは労働の金額あるいは科学技術の状態に依存します。　
　もっと最近のアメリカのデータはまたコッブ＝ダグラス型生産関数として整合的です。図３−１４は、１９６０年から１９９６年までアメリカにおける総所得に対する労働所得の率を示しています。過去４０年間における多くの経済における変化にも関わらず、この率は約０．７のままでした。この所得分配はパラメーターαが約０．３であるコッブ＝ダグラス生産関数によって簡単に説明されます。