ソローモデルの特徴は、ハロッド・モデルにおける短期不安定性と長期不安定生産関数における資本と労働の代替不可能性にあったと指摘し、資本と労働の代替性を認めた生産関数を仮定し、生産技術は規模に関して収穫不変であると仮定することによって、保証成長率と自然成長率が均斉成長の道を歩むことを証明したことです。
すなわち、次のようなマクロ生産関数があるとします。
Ｙ＝Ｆ（Ｋ，Ｎ）
それは一次同次の生産関数が仮定されているということで、資本Ｋも労働Ｎも同じ比率（たとえばλ倍）で増やした場合、産出量Ｙも同じ割合で増加するので、以下のようになります。
λＹ＝Ｆ（λＫ，λＮ）
ここで、λ＝１／Ｎとして代入すると、
Ｙ／Ｎ＝Ｆ（Ｋ／Ｎ，１）
となり、これは労働１単位当たりの産出量（ｙ＝Ｙ／Ｎ）が資本−労働比率（ｋ＝Ｋ／Ｎ）によって決まるという関係、つまり
ｙ＝ｆ（ｋ）
に変形されます。
ここで、国民所得の決定理論より、Ｓ＝Ｉが成立しているとして、貯蓄が国民所得の一定割合ｓで行われるとすれば、
Ｓ＝ｓＹ＝Ｉ
そして、ｙ＝ｆ（ｋ）より、Ｙ／Ｎ＝ｆ（ｋ）をさらにＹ＝ｆ（ｋ）・Ｎと変形して、 Ｉ＝ｓ・ｆ（ｋ）・Ｎ
さらに両辺をＫで割ると、
Ｉ／Ｋ＝ｓ・ｆ（ｋ）・Ｎ／Ｋ＝ｓ・ｆ（ｋ）／ｋ
ここで、Ｉ／Ｋ＝ΔＫ／Ｋなので、資本ストックの成長率となり、上記の式を満たすような資本の成長率をｓ・ｆ（ｋ）／ｋ を保証成長率と呼びます。 保証成長率は財市場を常に均衡させる成長率であり、下図のように表せます。
図１ 労働１単位当たりの産出量と資本・労働比率
次に、貯蓄率や人口（労働力）成長率が変化したとき、均斉成長率がどのように変化するか検証すると、
図２ 貯蓄率の上昇と資本・労働比率貯蓄率が上昇すると、図２のように、ｓｆ（ｋ）線が上方シフトします。その結果は、ｎｋ線との交点は、ＡからＢへと右に移動し、資本・労働比率はｋ＊からｋ＊＊へ上昇します。これに伴って、１人当たりの所得は、ｆ（ｋ＊）からｆ（ｋ＊＊）にまで上昇します。 逆に、貯蓄率が下落すると、ｓｆ（ｋ）線が下方シフトし、資本・労働比率は低くなります。その結果、１人当たりの所得が低下します。
ただし、ここで注意しなければならないのは、「貯蓄率の上昇（下落）は、１人当たりの所得を上昇（低下）させるが、長期的にはその成長率に影響を与えない」ということです。なぜならば、均斉成長率は保証成長率ｓｆ（ｋ）／ｋ＝自然成長率ｎで決まるので、貯蓄の増加により、一時的にＧｗ＞Ｇｎとなっても、価格調整のメカニズムにより資本労働比率が低下し、長期的にはＧｗ＝Ｇｎとなるように調整されるからです。
今度は、人口成長率の変化が、資本・労働比率と１人当たりの所得・貯蓄にどのような影響を及ぼすのか見てみます。
人口成長率の上昇は、労働投入の増加率、つまり自然成長率Ｇｎが増加するので、均斉成長率も上昇します。図３のように、Ｇｎが上昇すると、ｎｋ線が上方にシフトし、資本・労働比率はｋ＊からｋ＊＊へ下落します。これに伴って、１人当たりの所得は、ｆ（ｋ＊）からｆ（ｋ＊＊）にまで下落します。
多くの発展途上国のように、人口増加率の高いところでは経済の規模自体は大きくなりますが、１人当たりの所得、生活水準では、ますます貧困化するわけです。
逆に、最近の日本のように、人口成長率が低下すると、ｎｋ線が下方へシフトし、資本・労働比率は高くなり、その結果、１人当たりの所得は増加しますが、成長率自体は低下してしまいます。
図３ 人口成長率の上昇と資本・労働比率最後に、技術進歩が存在する場合を考えます。シュンペーターが資本主義を発展させるのは技術革新であり、それを可能にするのは大胆な企業家精神であることを指摘しています。もし、技術革新がなければ、経済はたかだか自然成長率ｎでしか存在しませんが、現実にこの数十年間に、めざましい技術進歩があったからこそ、人々の生活水準は飛躍的に向上しました。
技術進歩があれば、生産関数は、図４のように上方にシフトします。つまり、同じｋ＊に対して、ＡＢだけ産出量が増加するわけです。
図４ 技術進歩による生産関数のシフト 最後に、技術革新の種類ですが、経済成長理論に出てくる代表的な技術革新は、技術革新の結果、労働生産性が上昇するというものです。この場合の技術進歩を労働増加的な技術進歩と呼びます。
実際の労働力の増加率ｎに加えて、技術進歩によってあたかも毎年新たにλの比率で労働投入が増えると考えれば、自然成長率はｎ＋λとなり、
労働増加的な技術進歩がある場合、経済が均斉成長を実現するのは、
ｓｆ（ｋ）／ｋ＝ｎ＋λ
もしくは、 ｓｆ（ｋ）＝（ｎ＋λ）ｋ が成立するときです。
それは、下記のような図５で示すことができます。
図５ 労働増加的な技術進歩がある場合の均斉成長率なお、技術進歩が純粋に労働増加的であるとき、そのような技術進歩はハロッド中立的と呼びます。。技術進歩が資本増加的であるときはソロー中立的、労働と資本の効率をともに引き上げる混合型をヒックス中立的とも呼びます。
いま、規模に関する収穫不変の生産関数をＹ＝ｆ（Ｋ，Ｎ，ｔ）と仮定するとき、時間の経過に伴って進む技術進歩をＡ（ｔ）と示すのならば、それぞれの技術進歩は以下のとおりになります。
労働増加的な技術進歩（ハロッド中立的） Ｙ＝ｆ（Ｋ，Ａ（ｔ）Ｎ）
資本増加的な技術進歩（ソロー中立的） Ｙ＝ｆ（Ａ（ｔ）Ｋ，Ｎ）
産出量増大的な技術進歩（ヒックス中立的） Ｙ＝Ａ（ｔ）ｆ（Ｋ，Ｎ）
なお、入門マクロ経済学では、技術進歩をＡとして、
労働増加的な技術進歩 Ｙ＝ｆ（Ｋ，ＡＮ）
資本増加的な技術進歩 Ｙ＝ｆ（ＡＫ，Ｎ）
産出量増大的な技術進歩 Ｙ＝Ａ・ｆ（Ｋ，Ｎ） と簡略に表現しています。
（参考文献）
「入門 マクロ経済学」（第４版：中谷巌、日本評論社）をベースに「経済原論 マクロ編」（中本・石橋、法学書院）により補足しました。