エクセルを用いたテイラー展開による関数近似

テイラー級数

三角関数(sin(x))は下式のように、xの１乗、２乗、３j乗・・・（無限につずく）の足し算、引き算に展開できる。これをテイラー級数という。

sin(x) = x/1! - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ・・・・・・

n!はnの階乗(ファクトリアル)といい、5!=5・4・3・2・1=120となる。エクセル関数はFACT(5)である。

一般的に、関数ｆ（ｘ）において、テイラーの定理が成立し、テイラーの展開式の剰余（Rn)が0に収束する場合、関数は次の無限級数

　　　　　　　_∞
　f(x+a) = Σxⁿ/n!・f^(m)(a)
　　　　　　　ⁿ⁼⁰

となる。これをテイラーの級数という。

f^(m)(a)は関数f(x)のｍ階微分関数において、ｘにaを代入した値となる。

a=0 の場合、

　　　　　_∞
　f(x) = Σxⁿ/n!・f^(m)(0)
　　　　　 ⁿ⁼⁰

が得られる。これを特に、マクローリン級数という。

sin(x)のテイラー展開（マクローリン展開）

　関数 f(x) = sin(x) をテイラー級数に展開してみよう。

sin(x)の微分が-cos(x),cos(x)の微分がsin(x)であることを理解していれば、
下表のように、sin(x)を無限に微分することが可能である。

			関数値（x=0の時）
関数	f(x)	sin(x)	0
１階微分	f'(x)	-cos(x)	-1
２階微分	f''(x)	-sin(x)	0
３階微分	f'''(x)	cos(x)	1
４階微分	f''''(x)	sin(x)	0
５階微分	f'''''(x)	-cos(x)	-1
・・・	・・・	・・・	・・・

テイラー級数式とこの表より、

sin(x) = x/1!-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7! + ・・・・・・

となる。

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EXCELを用いたテイラー展開

エクセルを用い、三角関数sin(x)をテイラー展開し、どこまで関数近似が可能か確認しよう。
xの範囲は-5から５までとする。

　　　　　　　　　　　　図１　三角関数：sin(x)　をテイラー展開したエクセルシート

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２　三角関数：sin(x) をテイラー展開した結果のグラフ

図２より、x=0近辺では、低次のテイラー級数でも精度がよいが、ｘが0から離れるに従い、
高次のテイラー級数が必要となってくる。

エクセルを用いた漸近展開(漸近級数)とテイラー展開による関数近似計算
xが大きい場合、テーラー展開より漸近展開のほうが関数近似に有用である。

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