梁の応力と断面性能（断面積、断面２次モーメント）の計算

　　 　　　　　

応力の定義

応力は単位面積あたりの力である。

図１のように、軸力(N)で引張られる梁を考える。

梁の断面積をAとすると、梁の断面に発生する応力(σ)は

　　σ　＝　N/A 　　　　となる。


　　　　　　　　
計算力学ハンドブック（第1巻）

Excelで解く構造力学

材料力学史
著者：ステファン・P．チモシェンコ


許容応力


　梁を大きな軸力で引張っても、その断面積が大きければ梁は破壊されない。

梁の安全性の指標となるものは、断面に発生した応力である。(軸力ではない)

法律、法規には、許容応力(σa)が設定されている。

この許容応力は材質(鋼、軟鉄、コンクリート、木等)により異なる。

許容応力度設計法では

　　断面に発生する応力(σ)　＜　許容応力(σa)

を検証する必要がある。


曲げモーメントにより発生する応力



図２


　断面に曲げモーメントを加えた場合、図２のように、断面の上部は引張応力が発生し、

下面部には圧縮応力が発生する。

　この応力分布の面を平面(線形)と仮定すると、

　　σ(x) = k・x 　　　とおける。

　　　　　　σ(x) ：　断面中心(重心)からxの距離にある断面の応力
　　　　　　　　　ｋ： 係数

曲げモーメントをMとすると、力のつり合いの法則より、

　　M = ∫σ(x)xda 　　　daは全断面で積分するという意味である。

　　M = k ∫x2 da

　　I=∫x2 daとおくと
　　　　　Iは断面２次モーメント(後述)

係数kは

　k= M/I となり、

断面中心(重心)からxの距離にある断面の応力σ(x)は

　σ(x)　＝　(M/I)・x となる。


矩形の断面２次モーメント




断面２次モーメントは断面形状により、算出式が異なる。

図３の矩形の断面２次モーメント(I)を計算する。

　I = ∫ x2 da

　da は赤色部分の面積であるため、da = a・dx となり、


　I = ∫ ax2 dx 　積分区間[-b/2〜b/2]　　　　　となる。

これを定積分すると

　I = ab3/12　　となる。


断面性能による応力計算

梁の断面積、断面２次モーメントは断面の性能を示すものであり、

断面性能と呼ばれる。

　断面に軸力(N)、曲げモーメント(M)が作用するとき、中心軸からx距離の

断面応力(σ)は

　σ　= N/A ＋　(M/I)・x

　　　　　　　　　　　　　　　　　A : 断面積
　　　　　　　　　　　　　　　　　I　: 断面２次モーメント
となる。


断面係数による応力計算

　中心軸から最も離れた断面内位置で、応力値が最大(最小)となる。

矩形断面の場合、中心軸から±b/2距離にあたる。

設計者が検討するのは、断面内の最大、最小応力である。

そこで、断面係数(Z)を

　Z = I/(b/2) 　と定義する。

断面に軸力(N)、曲げモーメント(M)が作用するとき、

断面最大、最小応力(σ)は

　σ　= N/A ±　M/Z

　　　　　　　　　　　　　　　　A : 断面積
　　　　　　　　　　　　　　　　 Z : 断面係数

となる。


A、B断面の応力比較




　高さが巾の２倍あるA断面と、巾が高さの２倍あるB断面に
同じ曲げモーメントを加え、断面に発生する最大応力を比較する。




両断面の断面積は同じですが、B断面の最大応力がA断面の最大応力の２倍となる。

　







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