Excelを用いた最小二乗法

        

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計測点列の近似曲線計算



            図1 最小二乗法で求めた近似曲線のグラフ

 目的関数(誤差の絶対値の和)を最小とする最小絶対値法のページもつくりました。
 フランスの数学者、物理学者、天文学者であるガウスは最小二乗法を考案した。
しかしながら、当初ガウスは誤差の絶対値和の最小化を模索したようである。

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下図のような、誤差を含むデータ(X,Y)を計測したとします。
近似関数をつくり、計測点以外のデータを取り出せるようにしたい場合、最小二乗法がよく使われます。


                       図2 例題の計測点列とそのグラフ






最小二乗法の近似曲線(近似関数)


一般的にはn次関数で近似します。ここでは、3次関数で近似しようと思います。

3次関数 f(X) = aX3 + bX2 + cX + d   ・・・・・ (1)

次数が高いほど、点列に近い関数がつくれます。しかし、高すぎると誤差を拾う可能性があり、ほどほどの次数にする必要があります。

最小二乗法は点列の近辺を通るなめらかな関数をつくります。そのため、誤差を含むデータの近似方法としては良い方法です。

計測点列を絶対に通る近似関数を作りたい場合は、ラグランジュの補間法スプラインの補間法等をつかいます。

最小二乗法では、n次関数以外の関数も使えます。周期性のある点列の場合、3角関数などを検討して下さい。


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最小二乗法の説明


計測点がXの時、Yと 関数値 f(X) の差 (Y-f(X))を計算します。
差の2乗 (Y−f(x) )2 が小さければ、Yとf(X)は近い値となります。
ほんとうは、2乗より、絶対値 |Y-f(X)|をとる方が良いのでしょうが、絶対値では計算処理が複雑となる。

一箇所の計測点だけが近い値となるだけではだめです。関数をすべての計測点に近づける必要がある。

そのため、全ての点で、差の2乗を合計します。

 T(合計) = Σ ( Y - f(X) ) 2  ・・・・・ (2)   Σ(シグマ) : 全ての点で合計するという記号

(2)式のT(合計)が最小となる関数の係数(a,b,c,d)を求めます。

係数が求まると、任意のXでの値
 f(X) = aX3 + bX2 + cX + d
が求まりま
す。



T(合計)を最小にする条件は連立方程式となる


(1)式の3次関数を(2)式に代入すると次の(3)式となる。

 T = Σ( Y - aX3 - bX2 - cX - d )2   ・・・・・ (3)

(3)式のTは係数(a,b,c,d)の関数と見ることができる。

(3)式のTを係数(a,b,c,d)で微分した式 が 0 のとき、(3)式のTは最小となる。

すなわち

  δT/δd = 0
  δT/δc = 0
  δT/δb = 0
  δT/δa = 0

となる。

これを解いて、整理すると、4元連立方程式(下の行列計算式)となる。



 4元連立方程式は下記マトリックス(行列)式で表記できる。

    A ×x = b    ・・・・・ (4)

この行列式(4)を解き、係数a,b,c,dを算出する。

一般的に、n次式の関数で近似すると、n+1元連立方程式となる。



EXCELを用い成分を計算し、マトリックス(行列)、ベクトルを設定する



EXCELを用い(4)式のマトリックス(行列)AとベクトルBの成分を計算し、マトリックス(行列)AとベクトルBを設定します。


                          図3 (4)式のマトリックス(行列)とベクトルを計算するエクセルシート



連立方程式の解き方


 連立方程式は下記マトリックス(行列)式で表記できる。

    A ×x = b

両辺に逆マトリックス A-1をかける。

   A-1 × ( A × x ) = A-1 × b

   (A-1 × A ) × x = A-1 × b

  A-
1 × A = E より

   E × x = A-1 × b

   x = A-1 × b

これで解 x が求まった。



連立方程式をエクセル(EXCEL)で解いてみよう


 EXCELで連立方程式 A × x = b を解いてみよう。

@ 逆マトリックス( A-1 ) の計算

 任意位置に逆マトリックス A-1 のエリアを確保し、
関数 MINVERSE( マトリックス A )を設定する。
注) 複数エリアに関数を設定する場合 Ctrl Shift キーを押しながら、
   Enterをキー入力する。

A 逆マトリックス( A-1 ) × ベクトル( b ) の計算

  任意位置に解 ( x ) のエリアを確保し、
関数 MMULT( 逆マトリックス( A-1 ), ベクトル( b ) )を設定すると、
解 ( x ) が求まる。



              図4 (4)の連立方程式(行列計算)を解くエクセルシート



近似関数の計算


連立方程式を解くことにより、近似関数の係数(a,b,c,d)が求まった。
この係数を使い、関数を計算すると、計測点列に近い近似曲線が求る。


   図5 (1)式の近似関数を計算するエクセルシート


                図6 (1)式の近似曲線と計測点列を比較したグラフ

  グラフ作成方法の参考 : エクセル(EXCEL)でグラフを作ってみよう



エクセルのソルバーを用いた最小二乗法

 
 最小二乗法は目的関数(誤差の2乗の合計)が最小となる係数を探索します。

この機能はエクセルのソルバー機能と完全に一致します。

微分やマトリックス計算などの高等数学を用いて、最小二乗法を活用するのが一般的です。

しかし、エクセルのソルバーを用いると、簡単な四則演算の知識のみで、最小二乗法が

使いこなせます。

また、制約条件付き最小二乗法、重み付き最小二乗法も容易に設定できます。

エクセルのソルバー機能を用いた最小二乗法も参照して下さい。



 



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