連立方程式（鶴と亀の足の数を数えるアホはいない）

JR福知山線脱線車両の力のつり合い図

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mn個の数をｍ行、ｎ列に並べたものをｍ行、ｎ列のマトリックス(行列)と言い、 個々の数値をその元と言う。 上記例は３行３列のマトリックスである。 行数と列数が同じマトリックスをｎ次正方マトリックスと言う。 （今回はこの正方マトリックスを取り扱う） 列（行）数が１個の場合、ベクトルとなる。

マトリックスＡ、Ｂ を下記とすると、 マトリックスどうしの和、差はその元どうしの和、差となる。 マトリックスの係数倍はその元を係数倍する。 マトリックスどうしのかけ算はすこし複雑となる。 Aのi行とBのj列どうしのベクトルを前から順次かけていき、合計した値　 をA×Bのi行j列の元とする。 i 行 j列の元(cij)は　cij = ai1b1j + ai2 b2j + ai3 b3j　となる。 演算則 　=　はすべての元どうしが等しい。 　A + B = B + A 　( A + B ) + C = A + ( B + C ) 　( A + B ) × C = A × C + B × C 　A × ( B + C ) = A × B + A × C 　A × ( B×C ) = (A ×B ) ×C 　A × B ≠ B × A　（必ずしも等しくない、偶然等しい場合もある）

単位マトリックス(単位行列) 対角部の元が１で、その他の元が０のマトリックスを単位マトリックス(E )と言う。 A × E = A, E × A = A　となる。 正方マトリックスA に対し X × A = E　となるマトリックス X が存在するとき、 これを A の逆マトリックスと言い、 A-1 で表す。 すなわち、　A-1 × A = E 、また　A × A-1 = E である。 逆マトリックス計算はＥＸＣＥＬの関数を使えば容易である。

下記の連立１次方程式を考えよう。 　（変数は x1, x2, x3) 連立方程式が解ける条件として、式の数と変数の数が同じである必要がある。 　　　a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1　　 　　　a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2　　 　　　a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3　　 とおき、マトリックスで表記すると、極めて簡単に 　　A　×x = b となる。