エクセルを用いた分布荷重を受ける梁のたわみ計算

　　　　　　　　　図１分布荷重を受ける梁のたわみグラフ

やさしくわかるExcel VBA（ブイビーエー）プログラミング改訂版

Excel VBA（ブイビーエー）辞典

Excel 2007／2003／2002／2000 VBA徹底活用テクニック

計算力学ハンドブック（第1巻）

Excelで解く構造力学

 材料力学史
著者：ステファン・P．チモシェンコ

梁のたわみ方程式

　一般的な梁のたわみ方程式は

　　E I d⁴y/dx⁴ = q(x) 　・・・・・　(1)　　　　　

　　　　　　x ：　原点からの梁方向距離
　　　　　　y ：　xにおけるたわみ
　　　　　　E ：ヤング率
　　　　　　I　：　断面２次モーメント
　　　　　　q(x) ：　荷重分布

となる。

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分布荷重Wを受ける梁のたわみ方程式

図2 分布荷重Wを受ける梁

　図2のように、原点からの距離(L1、L2)の範囲に大きさWの集中荷重を受ける長さ(L)の梁の場合、
たわみ方程式の解は

(0≦x≦L1) のとき

　y = ys + is x - (Ms/2EI) x² - (Qs/6EI) x³　　　・・・　(2)　

(L1＜x≦L2) のとき

　y = ys + is x - (Ms/2EI) x² - (Qs/6EI) x³ +　(W/24EI) ( x - L1 )⁴　・・・　(3) 　

(L2＜x≦L) のとき

　y = ys + is x - (Ms/2EI) x² - (Qs/6EI) x³ +　(W/24EI) ( x - L1 )⁴ - (W/24EI) ( x - L2 )⁴　・・・　(4) 　

　　　　　　x ：　原点からの梁方向距離
　　　　　　y ：　x位置における梁のたわみ
　　　　　　E ：　材質のヤング率
　　　　　　I　：　断面２次モーメント
　　　　　　
　　　　　　ys 　：　梁始端での梁のたわみ
　　　　　　is　　：　梁始端での梁の傾斜
　　　　　　Ms　：　梁始端での曲げモーメント
　　　　　　Qs　：　梁始端でのせん断力

となる。

梁のたわみと傾斜角(i)、曲げモーメント(M)、せん断力(Q)の関係は

　　　i = dy/dx　　　　　　　・・・・・　(5)

　　　M = -(d²y/dx²)・EI 　・・・・・　(6)

　　　Q = -(d³y/dx³)・EI 　・・・・・　(7)

となり、(2),(3),(4)式を微分することで、傾斜角(i)、曲げモーメント(M)、せん断力(Q)

は求まる。

集中荷重を受ける梁のたわみ、傾斜、曲げモーメント、せん断力の関係式

(2)～(7)式とその微分式より、梁の始端と終端のたわみ(y)、傾斜角(i)、曲げモーメント(M)、
せん断力(Q)の関係は次式となる。

　ys + is L - Ms L²/(2EI) - Qs L³/(6EI) - ye = 　-　W( L - L1 )⁴ /(24EI) + W ( L - L2 )⁴/(24EI)　・・・・・　(8)

　is - Ms L/(EI) - Qs L²/(2EI) - ie = -W(L-L1)³/(6EI) + W(L-L2)³/(6EI)　　　　　・・・・・　(9)

　Ms + Qs L - Me = W(L-L1)²/2 - W(L-L2)²/2　　　・・・・・　(10)

　Qs - Qe = W(L - L1) - W(L - L2)　　　　　　　　　　・・・・・　(11)
　　　　　
　　　　　　ye 　：　梁終端での梁のたわみ
　　　　　　ie　　：　梁終端での梁の傾斜
　　　　　　Me　：　梁終端での曲げモーメント
　　　　　　Qe　：　梁終端でのせん断力

梁の材端条件

　求めるべき変数が８あるため、(8)～(11)の４式だけでは、解は求まらない。

梁の材端条件式が必要です。

梁始端の材端条件式が２、梁終端の材端条件式が２あり、(8)～(11)と合わせ

８式となり、連立方程式を作り、解くことができる。

梁には、数種類の材端条件があり、代表的な３種類を表１　に示す。

表１　梁の材端条件表

(a)剛結	梁端のたわみと傾斜が0となる。始端が剛結の場合 ys = 0 is = 0 終端が剛結の場合　ye = 0 ie = 0
(b)ピン結	梁端のたわみと曲げモーメントが0となる。始端がピン結の場合　ys = 0 Ms = 0 終端がピン結の場合　ye = 0 Me = 0
(c)自由端	梁端の曲げモーメントとせん断力が0となる。始端が自由端の場合　Ms = 0 Qs = 0 終端が自由端の場合　Me = 0 Qe = 0

連立方程式のマトリックス（行列）表記

　連立方程式を次式のようにマトリックス表記する。

　　G 　×　X = W　　　　・・・・　(12)

連立方程式の解は次式となる。

　　X =　G ^-1　× W　　　　・・・・　(13)

　ただし、G^-1はGの逆行列である。

梁の材端条件を始端が剛結、終端がピン結とした
マトリックスの成分を下表に示す。

①　X 変数ベクトル

②　G マトリックス

1	L	-L²/(2EI)	-L³/(6EI)	-1	0	0	0
0	1	-L/(EI)	-L²/(2EI)	0	-1	0	0
0	0	1	L	0	0	-1	0
0	0	0	1	0	0	0	-1
1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	1	0	0	0
0	0	0	0	0	0	1	0

③　W　荷重ベクトル

-W(L-L1)⁴/(24EI) + W(L-L2)⁴/(24EI)
-W(L-L1)³/(6EI) + W(L-L2)³/(6EI)
W(L-L1)²/2 - W(L-L2)²/2
W(L-L1) - W(L-L2)
0
0
0
0

分布荷重Wを受ける梁のたわみ方程式をエクセルで解く

　次の図３に記載された条件のもと、分布荷重を受ける梁のたわみ方程式を解きます。

　　　　　図３　分布荷重を受ける梁のたわみ計算の条件

図３の分布荷重を受ける梁のたわみ計算の条件を参照し、エクセルシートにGマトリックス、P荷重ベクトルを設定する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図４　Gマトリックス、P荷重ベクトルの設定

Gマトリックスの逆行列(G^-1)を求める。　　参照　連立方程式をエクセル(EXCEL)で解いてみよう

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図５　Gマトリックスの逆行列

逆マトリックス(G^-1)と荷重ベクトルをかけ、解であるX変数ベクトルを求める。

　　　　　　　　　　図６　解の変数ベクトル

求まった解と(2)(3)(4)式を使用し、梁のたわみグラフを作成する。

　グラフ作成方法の参考　：　エクセル(EXCEL)でグラフを作ってみよう

　　　　　　　　　　　　　　　図７　分布荷重を受ける梁のたわみグラフ

求まった解と(2)(3)(4)式の２階微分式と(6)式より、梁のモーメントグラフを作成する。

　　　　　　　　　　図8　分布荷重を受ける梁の曲げモーメントグラフ

エクセルを用いた集中荷重を受ける梁のたわみ計算

 エクセルを用いたモーメント荷重を受ける梁のたわみ計算

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