エクセルを用いた二項分布の計算

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図1 二項分布の例題グラフ


二項分布


 ある商品において、不良品の割合がpのとき、正常な商品の割合はq (=1-p)となる。商品から無作為にn個抽出したとき、不良品がk個である確立P(k)はいくらか。

 n個の商品からk個を選ぶ組合せ総数はnCkである。(参照:エクセルを用いた順列・組合せ計算
組合せた商品個々に対して、不良品がk個である確率はpkであり、正常な商品が(n-k)個である確率はqn-kである。これらが同時におこる確率はこれらの積となる。よって、確率P(k)は次式となる。

  P(k) = nCk・pk・qn-k  ・・・ (1)

      p + q = 1
     nCk = n!/(k!・(n-k)!)

この確率分布を二項分布といい、nCkを二項係数という。

ある試行を繰り返すとき、事象が生起する回数の確率を考える際のモデルとして、次のベルヌーイの試行列がある。

@ 各試行では、ある事象Aが生起するかしないかのみを考える。
A 対称とする事象Aが生起する確率は、すべての試行において、一定値pで与えられる。
B 各試行は統計的に独立である。

n回の試行を行う場合、事象Aが生起する回数kは(1)式の二項分布に従う。

二項分布の平均E(X),分散E(X2)は次の式となる。

 平均 E(X) = np

分散 E(X2) = np(1-p)


統計学が最強の学問である


参考文献
工学のための確率・統計
北村隆一・堀智晴 編著

ポートフォリオ最適化と数理計画法 (シリーズ・金融工学の基礎)


数値解析

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Excelを用いた二項分布の計算



 エクセルには次の二項分布関連の関数があり、計算に利用できる。

@ n!= FACT(n)
A 二項係数 nCk = COMBIN(n,k)
B 二項分布関数 = BINOMDIST(k,n,p,false)

 不良率3%の商品を無作為に200個抽出した際、不良品がk個である確立分布の計算は図2のようになる。


                      図2 エクセルを用いた2項分布の計算例



Excelを用いたパスカルの3角形(2項係数)



 図3のように、2項係数(nCr)は上のセルと右上のセルを加算していくことにより表が作成できる。これは、
  (n-1Cr-1)+(n-1Cr)=nCr  nCr=nCn-r
の関係式を基にしている。この表をパスカルの3角形という。


                      図3 Excelを用いたパスカルの3角形



 

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